Sr Examen

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exp(-2*x-log(2)*log(x))
Trazado el gráfico de la función/ exp(-2*x-log(2)*log(x))

Gráfico de la función y = exp(-2*x-log(2)*log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -2*x - log(2)*log(x)
f(x) = e
f(x)=e−2x−log⁡(2)log⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} 
f = exp(-2*x - log(2)*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=0e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-2*x - log(2)*log(x)).
e−log⁡(0)log⁡(2)−0e^{- \log{\left(0 \right)} \log{\left(2 \right)} - 0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2−log⁡(2)x)e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=0\left(-2 - \frac{\log{\left(2 \right)}}{x}\right) e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18.3769049957628x_{1} = 18.3769049957628
x2=108.640033332116x_{2} = 108.640033332116
x3=72.6209645693776x_{3} = 72.6209645693776
x4=76.6240434179097x_{4} = 76.6240434179097
x5=20.4210624094267x_{5} = 20.4210624094267
x6=46.5861157113102x_{6} = 46.5861157113102
x7=30.5274511634437x_{7} = 30.5274511634437
x8=62.6113614500071x_{8} = 62.6113614500071
x9=96.6353599271718x_{9} = 96.6353599271718
x10=94.6344580717125x_{10} = 94.6344580717125
x11=110.640708087713x_{11} = 110.640708087713
x12=106.639331778464x_{12} = 106.639331778464
x13=42.5763276107284x_{13} = 42.5763276107284
x14=52.5976246838425x_{14} = 52.5976246838425
x15=86.630403416305x_{15} = 86.630403416305
x16=44.5814777247789x_{16} = 44.5814777247789
x17=54.6008260790129x_{17} = 54.6008260790129
x18=50.5941346095694x_{18} = 50.5941346095694
x19=−0.346573590279973x_{19} = -0.346573590279973
x20=36.556777040134x_{20} = 36.556777040134
x21=84.6292608589923x_{21} = 84.6292608589923
x22=40.5705748413464x_{22} = 40.5705748413464
x23=34.5484019395214x_{23} = 34.5484019395214
x24=82.6280586579318x_{24} = 82.6280586579318
x25=100.637049334033x_{25} = 100.637049334033
x26=32.5387361515943x_{26} = 32.5387361515943
x27=98.6362228580783x_{27} = 98.6362228580783
x28=16.3124109503836x_{28} = 16.3124109503836
x29=102.637841619825x_{29} = 102.637841619825
x30=24.4782910211511x_{30} = 24.4782910211511
x31=28.5140944128501x_{31} = 28.5140944128501
x32=22.4534361131145x_{32} = 22.4534361131145
x33=58.6064956345985x_{33} = 58.6064956345985
x34=68.617491970759x_{34} = 68.617491970759
x35=60.6090178978144x_{35} = 60.6090178978144
x36=78.6254555763182x_{36} = 78.6254555763182
x37=64.6135446887583x_{37} = 64.6135446887583
x38=26.4980233055031x_{38} = 26.4980233055031
x39=38.5641060100723x_{39} = 38.5641060100723
x40=90.6325265389808x_{40} = 90.6325265389808
x41=74.6225488953753x_{41} = 74.6225488953753
x42=56.6037733243416x_{42} = 56.6037733243416
x43=92.6335145935692x_{43} = 92.6335145935692
x44=80.6267920088678x_{44} = 80.6267920088678
x45=104.638601796254x_{45} = 104.638601796254
x46=14.2067857661708x_{46} = 14.2067857661708
x47=88.6314906675026x_{47} = 88.6314906675026
x48=70.6192820746164x_{48} = 70.6192820746164
x49=66.6155835635331x_{49} = 66.6155835635331
x50=48.5903147396823x_{50} = 48.5903147396823
Signos de extremos en los puntos:
(18.37690499576284, 1.45109652784724e-17)

(108.640033332116, 1.67967542476786e-96)

(72.62096456937758, 4.28787135238106e-65)

(76.62404341790972, 1.37739718944068e-68)

(20.421062409426685, 2.26158783494608e-19)

(46.58611571131025, 2.39588923603369e-42)

(30.52745116344371, 2.85156818684501e-28)

(62.61136145000705, 2.35026791649975e-56)

(96.63535992717178, 4.87081219649393e-86)

(94.63445807171252, 2.70309383813762e-84)

(110.6407080877126, 3.03366851864875e-98)

(106.63933177846377, 9.30267976064811e-95)

(42.57632761072839, 7.7520822889345e-39)

(52.59762468384247, 1.32251575694457e-47)

(86.63040341630504, 2.5745239226812e-77)

(44.58147772477892, 1.36117415356875e-40)

(54.60082607901288, 2.34525632676383e-49)

(50.59413460956935, 7.46965967265691e-46)

                            -(-1.05966010114161 + pi*I)*log(2) 
(-0.34657359027997264, 2*e                                  )

(36.55677704013399, 1.45821015190327e-33)

(84.62926085899225, 1.43186663566958e-75)

(40.5705748413464, 4.42710074790116e-37)

(34.54840193952138, 8.41942345142757e-32)

(82.62805865793176, 7.96761964061502e-74)

(100.63704933403274, 1.58330145279768e-89)

(32.53873615159429, 4.88536048207147e-30)

(98.6362228580783, 8.78020512939487e-88)

(16.31241095038358, 9.78963130233712e-16)

(102.63784161982451, 2.85608658829042e-91)

(24.47829102115113, 5.96756099426736e-23)

(28.514094412850103, 1.67649333953284e-26)

(22.45343611311446, 3.63542610561963e-21)

(58.606495634598474, 7.40624492209795e-53)

(68.61749197075898, 1.33870263546801e-61)

(60.60901789781439, 1.31860670554344e-54)

(78.62545557631816, 2.47111377652391e-70)

(64.61354468875825, 4.19341162241688e-58)

(26.49802330550309, 9.94518771276626e-25)

(38.5641060100723, 2.53620678753255e-35)

(90.63252653898076, 8.33492583852991e-81)

(74.62254889537535, 7.68250697791407e-67)

(56.603773324341574, 4.16492653596381e-51)

(92.63351459356916, 1.50069264166142e-82)

(80.62679200886784, 4.43595841995724e-72)

(104.63860179625422, 5.15372838333062e-93)

(14.206785766170775, 7.26596725182324e-14)

(88.6314906675026, 4.63127097468606e-79)

(70.61928207461642, 2.39494192611673e-63)

(66.61558356353312, 7.4891555228039e-60)

(48.59031473968229, 4.22631332772031e-44)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x50=−0.346573590279973x_{50} = -0.346573590279973
Decrece en los intervalos
(−∞,−0.346573590279973]\left(-\infty, -0.346573590279973\right]
Crece en los intervalos
[−0.346573590279973,∞)\left[-0.346573590279973, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((2+log⁡(2)x)2+log⁡(2)x2)e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=0\left(\left(2 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x}\right)^{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{x^{2}}\right) e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=∞\lim_{x \to -\infty} e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=0\lim_{x \to \infty} e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-2*x - log(2)*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−2x−log⁡(2)log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(e−2x−log⁡(2)log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=e2x−log⁡(2)log⁡(−x)e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = e^{2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(- x \right)}}
- No
e−2x−log⁡(2)log⁡(x)=−e2x−log⁡(2)log⁡(−x)e^{- 2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}} = - e^{2 x - \log{\left(2 \right)} \log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-2*x-log(2)*log(x))
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