Sr Examen

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log(x)/(x+2)+1
Trazado el gráfico de la función/ log(x)/(x+2)+1

Gráfico de la función y = log(x)/(x+2)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)    
f(x) = ------ + 1
       x + 2
f(x)=1+log⁡(x)x+2f{\left(x \right)} = 1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2} 
f = 1 + log(x)/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1+log⁡(x)x+2=01 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(e−2)x_{1} = W\left(e^{-2}\right)
Solución numérica
x1=0.120028238987641x_{1} = 0.120028238987641
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(x + 2) + 1.
log⁡(0)2+1\frac{\log{\left(0 \right)}}{2} + 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)(x+2)2+1x(x+2)=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(2e)+1x_{1} = e^{W\left(\frac{2}{e}\right) + 1}
Signos de extremos en los puntos:
       /   -1\              /   -1\   
  1 + W\2*e  /         1 + W\2*e  /   
(e           , 1 + -----------------)
                              /   -1\ 
                         1 + W\2*e  / 
                    2 + e


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eW(2e)+1x_{1} = e^{W\left(\frac{2}{e}\right) + 1}
Decrece en los intervalos
(−∞,eW(2e)+1]\left(-\infty, e^{W\left(\frac{2}{e}\right) + 1}\right]
Crece en los intervalos
[eW(2e)+1,∞)\left[e^{W\left(\frac{2}{e}\right) + 1}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)(x+2)2−2x(x+2)−1x2x+2=0\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=44265.7017725604x_{1} = 44265.7017725604
x2=36504.5395380226x_{2} = 36504.5395380226
x3=25398.3042276186x_{3} = 25398.3042276186
x4=33170.5159341437x_{4} = 33170.5159341437
x5=57493.9931924793x_{5} = 57493.9931924793
x6=49789.4400935317x_{6} = 49789.4400935317
x7=37615.0545701149x_{7} = 37615.0545701149
x8=59689.4020575102x_{8} = 59689.4020575102
x9=39834.446294619x_{9} = 39834.446294619
x10=43158.8847440741x_{10} = 43158.8847440741
x11=28724.2019017552x_{11} = 28724.2019017552
x12=55296.0175240638x_{12} = 55296.0175240638
x13=30946.8770750174x_{13} = 30946.8770750174
x14=45371.8340832042x_{14} = 45371.8340832042
x15=47582.0239274937x_{15} = 47582.0239274937
x16=29835.2864925341x_{16} = 29835.2864925341
x17=26505.142019564x_{17} = 26505.142019564
x18=38725.0391970573x_{18} = 38725.0391970573
x19=42051.3926649508x_{19} = 42051.3926649508
x20=34282.1802372611x_{20} = 34282.1802372611
x21=50892.1128862442x_{21} = 50892.1128862442
x22=24294.3612637142x_{22} = 24294.3612637142
x23=53095.4101884672x_{23} = 53095.4101884672
x24=48686.0781758374x_{24} = 48686.0781758374
x25=7.75850139245233x_{25} = 7.75850139245233
x26=27613.9915244101x_{26} = 27613.9915244101
x27=46477.2757599979x_{27} = 46477.2757599979
x28=32058.6923765109x_{28} = 32058.6923765109
x29=40943.2398361897x_{29} = 40943.2398361897
x30=51994.1010647193x_{30} = 51994.1010647193
x31=35393.5551813782x_{31} = 35393.5551813782
x32=56395.3303766332x_{32} = 56395.3303766332
x33=60786.1652576388x_{33} = 60786.1652576388
x34=54196.0466546917x_{34} = 54196.0466546917
x35=58592.0142527443x_{35} = 58592.0142527443
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2

lim⁡x→−2−(2log⁡(x)(x+2)2−2x(x+2)−1x2x+2)=−∞sign⁡(1.38629436111989+2iπ)\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 2}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(1.38629436111989 + 2 i \pi \right)}
lim⁡x→−2+(2log⁡(x)(x+2)2−2x(x+2)−1x2x+2)=∞sign⁡(1.38629436111989+2iπ)\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 2\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{x + 2}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1.38629436111989 + 2 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[7.75850139245233,∞)\left[7.75850139245233, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,7.75850139245233]\left(-\infty, 7.75850139245233\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1+log⁡(x)x+2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(1+log⁡(x)x+2)=1\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(x + 2) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1+log⁡(x)x+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1+log⁡(x)x+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1+log⁡(x)x+2=1+log⁡(−x)2−x1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2} = 1 + \frac{\log{\left(- x \right)}}{2 - x}
- No
1+log⁡(x)x+2=−1−log⁡(−x)2−x1 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x + 2} = -1 - \frac{\log{\left(- x \right)}}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(x)/(x+2)+1
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