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Trazado el gráfico de la función/ pi/2-2*atan((1-2*x)/3)

Gráfico de la función y = pi/2-2*atan((1-2*x)/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi         /1 - 2*x\
f(x) = -- - 2*atan|-------|
       2          \   3   /
f(x)=−2atan⁡(1−2x3)+π2f{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2} 
f = -2*atan((1 - 2*x)/3) + pi/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2atan⁡(1−2x3)+π2=0- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/2 - 2*atan((1 - 2*x)/3).
−2atan⁡(1−03)+π2- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 0}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}
Resultado:
f(0)=−2atan⁡(13)+π2f{\left(0 \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2 - 2*atan(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
43((1−2x)29+1)=0\frac{4}{3 \left(\frac{\left(1 - 2 x\right)^{2}}{9} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−16(2x−1)27((2x−1)29+1)2=0- \frac{16 \left(2 x - 1\right)}{27 \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{9} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2atan⁡(1−2x3)+π2)=−π2\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}\right) = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞(−2atan⁡(1−2x3)+π2)=3π2\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3 \pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=3π2y = \frac{3 \pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 - 2*atan((1 - 2*x)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2atan⁡(1−2x3)+π2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2atan⁡(1−2x3)+π2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2atan⁡(1−2x3)+π2=−2atan⁡(2x3+13)+π2- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \right)} + \frac{\pi}{2}
- No
−2atan⁡(1−2x3)+π2=2atan⁡(2x3+13)−π2- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - 2 x}{3} \right)} + \frac{\pi}{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \right)} - \frac{\pi}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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