Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ pi*sqrt(1+8*sin(pi*x/6)^2)/3

Gráfico de la función y = pi*sqrt(1+8*sin(pi*x/6)^2)/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              __________________
             /          2/pi*x\ 
       pi*  /  1 + 8*sin |----| 
          \/             \ 6  / 
f(x) = -------------------------
                   3
f(x)=π8sin⁡2(πx6)+13f{\left(x \right)} = \frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} 
f = (pi*sqrt(8*sin((pi*x)/6)^2 + 1))/3
Gráfico de la función
01234567891210110.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
π8sin⁡2(πx6)+13=0\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (pi*sqrt(1 + 8*sin((pi*x)/6)^2))/3.
π8sin⁡2(0π6)+13\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{0 \pi}{6} \right)} + 1}}{3}
Resultado:
f(0)=π3f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{3}
Punto:
(0, pi/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4π2sin⁡(πx6)cos⁡(πx6)98sin⁡2(πx6)+1=0\frac{4 \pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{9 \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(-3, pi)

    pi 
(0, --)
    3  

(3, pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
x1=3x_{1} = 3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[0,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2π3(sin⁡2(πx6)−cos⁡2(πx6)+8sin⁡2(πx6)cos⁡2(πx6)8sin⁡2(πx6)+1)278sin⁡2(πx6)+1=0- \frac{2 \pi^{3} \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + \frac{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}\right)}{27 \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5x_{1} = -5
x2=−1x_{2} = -1
x3=1x_{3} = 1
x4=5x_{4} = 5

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5,∞)\left[5, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,5]\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, 5\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(π8sin⁡2(πx6)+13)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(π8sin⁡2(πx6)+13)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (pi*sqrt(1 + 8*sin((pi*x)/6)^2))/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(π8sin⁡2(πx6)+13x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3 x}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(π8sin⁡2(πx6)+13x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3 x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
π8sin⁡2(πx6)+13=π8sin⁡2(πx6)+13\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} = \frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}
- No
π8sin⁡2(πx6)+13=−π8sin⁡2(πx6)+13\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} = - \frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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