Sr Examen

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Gráfico de la función y = pi*sqrt(1+8*sin(pi*x/6)^2)/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              __________________
             /          2/pi*x\ 
       pi*  /  1 + 8*sin |----| 
          \/             \ 6  / 
f(x) = -------------------------
                   3            
$$f{\left(x \right)} = \frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}$$
f = (pi*sqrt(8*sin((pi*x)/6)^2 + 1))/3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (pi*sqrt(1 + 8*sin((pi*x)/6)^2))/3.
$$\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{0 \pi}{6} \right)} + 1}}{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{3}$$
Punto:
(0, pi/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 \pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{9 \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, pi)

    pi 
(0, --)
    3  

(3, pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \pi^{3} \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + \frac{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}\right)}{27 \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 5$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[5, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, 5\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}\right)$$
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (pi*sqrt(1 + 8*sin((pi*x)/6)^2))/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3 x}\right)$$
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3 x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} = \frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}$$
- No
$$\frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3} = - \frac{\pi \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar