Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{4 \pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{6} \right)}}{9 \sqrt{8 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{6} \right)} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, pi)
pi
(0, --)
3
(3, pi)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3, \infty\right)$$