Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ pi*log(a)/((2*a))

Gráfico de la función y = pi*log(a)/((2*a))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi*log(a)
f(a) = ---------
          2*a
f(a)=πlog⁡(a)2af{\left(a \right)} = \frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a} 
f = (pi*log(a))/((2*a))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
a1=0a_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje A con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
πlog⁡(a)2a=0\frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje A:

Solución analítica
a1=1a_{1} = 1
Solución numérica
a1=1a_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando a es igual a 0:
sustituimos a = 0 en (pi*log(a))/((2*a)).
πlog⁡(0)0⋅2\frac{\pi \log{\left(0 \right)}}{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddaf(a)=0\frac{d}{d a} f{\left(a \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddaf(a)=\frac{d}{d a} f{\left(a \right)} =
primera derivada
π12aa−πlog⁡(a)2a2=0\frac{\pi \frac{1}{2 a}}{a} - \frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
a1=ea_{1} = e
Signos de extremos en los puntos:
        -1 
    pi*e   
(E, ------)
      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
a1=ea_{1} = e
Decrece en los intervalos
(−∞,e]\left(-\infty, e\right]
Crece en los intervalos
[e,∞)\left[e, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2da2f(a)=0\frac{d^{2}}{d a^{2}} f{\left(a \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2da2f(a)=\frac{d^{2}}{d a^{2}} f{\left(a \right)} =
segunda derivada
π(log⁡(a)−32)a3=0\frac{\pi \left(\log{\left(a \right)} - \frac{3}{2}\right)}{a^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
a1=e32a_{1} = e^{\frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
a1=0a_{1} = 0

lim⁡a→0−(π(log⁡(a)−32)a3)=∞\lim_{a \to 0^-}\left(\frac{\pi \left(\log{\left(a \right)} - \frac{3}{2}\right)}{a^{3}}\right) = \infty
lim⁡a→0+(π(log⁡(a)−32)a3)=−∞\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\pi \left(\log{\left(a \right)} - \frac{3}{2}\right)}{a^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
a1=0a_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e32,∞)\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e32]\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
a1=0a_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con a->+oo y a->-oo
lim⁡a→−∞(πlog⁡(a)2a)=0\lim_{a \to -\infty}\left(\frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡a→∞(πlog⁡(a)2a)=0\lim_{a \to \infty}\left(\frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (pi*log(a))/((2*a)), dividida por a con a->+oo y a ->-oo
lim⁡a→−∞(π12alog⁡(a)a)=0\lim_{a \to -\infty}\left(\frac{\pi \frac{1}{2 a} \log{\left(a \right)}}{a}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡a→∞(π12alog⁡(a)a)=0\lim_{a \to \infty}\left(\frac{\pi \frac{1}{2 a} \log{\left(a \right)}}{a}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-a) и f = -f(-a).
Pues, comprobamos:
πlog⁡(a)2a=−πlog⁡(−a)2a\frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a} = - \frac{\pi \log{\left(- a \right)}}{2 a}
- No
πlog⁡(a)2a=πlog⁡(−a)2a\frac{\pi \log{\left(a \right)}}{2 a} = \frac{\pi \log{\left(- a \right)}}{2 a}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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