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sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________      ________
         /  2          /  2     
f(x) = \/  x  + 1  - \/  x  - 1
f(x)=−x2−1+x2+1f{\left(x \right)} = - \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1} 
f = -sqrt(x^2 - 1) + sqrt(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2−1+x2+1=0- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1).
02+1−−1+02\sqrt{0^{2} + 1} - \sqrt{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=1−if{\left(0 \right)} = 1 - i
Punto:
(0, 1 - i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1−xx2−1=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1 - I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x2(x2+1)32+x2(x2−1)32+1x2+1−1x2−1=0- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2−1+x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−x2−1+x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2−1+x2+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−x2−1+x2+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2−1+x2+1=−x2−1+x2+1- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1} = - \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}
- Sí
−x2−1+x2+1=x2−1−x2+1- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} - 1} - \sqrt{x^{2} + 1}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-1)
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