Sr Examen

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sqrt(3)*x-2sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3)*x-2sin(x)

Gráfico de la función y = sqrt(3)*x-2sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___             
f(x) = \/ 3 *x - 2*sin(x)
f(x)=3x−2sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)} 
f = sqrt(3)*x - 2*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−2sin⁡(x)=0\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=0.915582309673212x_{2} = 0.915582309673212
x3=−0.915582309673212x_{3} = -0.915582309673212
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3)*x - 2*sin(x).
03−2sin⁡(0)0 \sqrt{3} - 2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2cos⁡(x)+3=0- 2 \cos{\left(x \right)} + \sqrt{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=11π6x_{2} = \frac{11 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
               ___ 
 pi       pi*\/ 3  
(--, -1 + --------)
 6           6     

                    ___ 
 11*pi      11*pi*\/ 3  
(-----, 1 + -----------)
   6             6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=11π6x_{1} = \frac{11 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[π6,11π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π6]∪[11π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{11 \pi}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−2sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x−2sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*x - 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−2sin⁡(x)x)=3\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \sqrt{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=3xy = \sqrt{3} x
lim⁡x→∞(3x−2sin⁡(x)x)=3\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \sqrt{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=3xy = \sqrt{3} x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−2sin⁡(x)=−3x+2sin⁡(x)\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)} = - \sqrt{3} x + 2 \sin{\left(x \right)}
- No
3x−2sin⁡(x)=3x−2sin⁡(x)\sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)} = \sqrt{3} x - 2 \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(3)*x-2sin(x)
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