Sr Examen

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sqrt(x^2-8*x+160)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2-8*x+160)

Gráfico de la función y = sqrt(x^2-8*x+160)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________________
         /  2             
f(x) = \/  x  - 8*x + 160
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160}$$ 
f = sqrt(x^2 - 8*x + 160)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2 - 8*x + 160).
$$\sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 160}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 4 \sqrt{10}$$
Punto:
(0, 4*sqrt(10))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x - 4}{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(4, 12)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 160} + 1}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 160}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 - 8*x + 160), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160}}{x}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160} = \sqrt{x^{2} + 8 x + 160}$$
- No
$$\sqrt{\left(x^{2} - 8 x\right) + 160} = - \sqrt{x^{2} + 8 x + 160}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x^2-8*x+160)
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