Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)

Gráfico de la función y = pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi   4*cos(x) + 4*cos(3*x)
f(x) = -- + ---------------------
       2             9*pi
f(x)=4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2f{\left(x \right)} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} 
f = (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)) + pi/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2=0\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/2 + (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)).
4cos⁡(0)+4cos⁡(0⋅3)9π+π2\frac{4 \cos{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}
Resultado:
f(0)=89π+π2f{\left(0 \right)} = \frac{8}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2 + 8/(9*pi))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
19π(−4sin⁡(x)−12sin⁡(3x))=0\frac{1}{9 \pi} \left(- 4 \sin{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(3)−log⁡(−2−5i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(−2+5i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}
Signos de extremos en los puntos:
    pi    8   
(0, -- + ----)
    2    9*pi 

     pi    8   
(pi, -- - ----)
     2    9*pi 

   /     /         ___\         \            /     /  /     /         ___\         \\        /    /     /         ___\         \\\ 
 I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/  pi    1   |     |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|        |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|| 
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
                2                  2    9*pi \     \               2                /        \                2                 // 

   /     /         ___\         \            /     /  /     /         ___\         \\        /    /     /         ___\         \\\ 
 I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/  pi    1   |     |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|        |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|| 
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
                2                  2    9*pi \     \               2                /        \                2                 //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
x2=−π2+atan⁡(52)2x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}
x3=−atan⁡(52)2+π2x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x3=0x_{3} = 0
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(52)2]∪[0,−atan⁡(52)2+π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(cos⁡(x)+9cos⁡(3x))9π=0- \frac{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{9 \pi} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(9)−log⁡(4−65i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(9)−log⁡(4+65i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x5=−ilog⁡(−4−65i3)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}
x6=−ilog⁡(−4+65i3)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π−atan⁡(sin⁡(atan⁡(654)2)cos⁡(atan⁡(654)2)),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2)=⟨−89,89⟩π+π2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−89,89⟩π+π2y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞(4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2)=⟨−89,89⟩π+π2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−89,89⟩π+π2y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 + (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2=4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}
- Sí
4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π+π2=−4cos⁡(x)+4cos⁡(3x)9π−π2\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = - \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} - \frac{\pi}{2}
- No
es decir, función
es
par
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