Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
-
Expresiones idénticas
- pi/ dos +(cuatro *cos(x)+ cuatro *cos(tres *x))/(nueve *pi)
- número pi dividir por 2 más (4 multiplicar por coseno de (x) más 4 multiplicar por coseno de (3 multiplicar por x)) dividir por (9 multiplicar por número pi )
- número pi dividir por dos más (cuatro multiplicar por coseno de (x) más cuatro multiplicar por coseno de (tres multiplicar por x)) dividir por (nueve multiplicar por número pi )
- pi/2+(4cos(x)+4cos(3x))/(9pi)
- pi/2+4cosx+4cos3x/9pi
- pi dividir por 2+(4*cos(x)+4*cos(3*x)) dividir por (9*pi)
-
Expresiones semejantes
- pi/2-(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi/2+(4*cos(x)-4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi/2+(4*cosx+4*cos(3*x))/(9*pi)
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- pi/8-cosx/pi+sinx/2
- pi*(1-x)*tg(pi*x/2)
- pi-arctg((x*10^(-5))/3)
- pi*sqrt(1+8*sin(pi*x/6)^2)/3
- pi/4+x/2
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(3x)+3cos(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
- Número Pi pi
- pi/8-cosx/pi+sinx/2
- pi*(1-x)*tg(pi*x/2)
- pi-arctg((x*10^(-5))/3)
- pi*sqrt(1+8*sin(pi*x/6)^2)/3
- pi/4+x/2
Gráfico de la función y = pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
Solución
Ha introducido
[src]
pi 4*cos(x) + 4*cos(3*x)
f(x) = -- + ---------------------
2 9*pi
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
f = (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)) + pi/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{9 \pi} \left(- 4 \sin{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{9 \pi} \left(- 4 \sin{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi 8
(0, -- + ----)
2 9*pi pi 8
(pi, -- - ----)
2 9*pi / / ___\ \ / / / / ___\ \\ / / / ___\ \\\
I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/ pi 1 | |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/| |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/||
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
2 2 9*pi \ \ 2 / \ 2 // / / ___\ \ / / / / ___\ \\ / / / ___\ \\\
I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/ pi 1 | |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/| |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/||
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
2 2 9*pi \ \ 2 / \ 2 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{9 \pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{9 \pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 + (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
- Sí
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = - \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} - \frac{\pi}{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
- Sí
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = - \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} - \frac{\pi}{2}$$
- No
es decir, función
es
par