Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{1}{9 \pi} \left(- 4 \sin{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi 8
(0, -- + ----)
2 9*pi
pi 8
(pi, -- - ----)
2 9*pi
/ / ___\ \ / / / / ___\ \\ / / / ___\ \\\
I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/ pi 1 | |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/| |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/||
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
2 2 9*pi \ \ 2 / \ 2 //
/ / ___\ \ / / / / ___\ \\ / / / ___\ \\\
I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/ pi 1 | |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/| |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/||
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
2 2 9*pi \ \ 2 / \ 2 //
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$