Sr Examen

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Gráfico de la función y = pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       pi   4*cos(x) + 4*cos(3*x)
f(x) = -- + ---------------------
       2             9*pi        
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
f = (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)) + pi/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/2 + (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)).
$$\frac{4 \cos{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{8}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
Punto:
(0, pi/2 + 8/(9*pi))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{9 \pi} \left(- 4 \sin{\left(x \right)} - 12 \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
    pi    8   
(0, -- + ----)
    2    9*pi 

     pi    8   
(pi, -- - ----)
     2    9*pi 

   /     /         ___\         \            /     /  /     /         ___\         \\        /    /     /         ___\         \\\ 
 I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/  pi    1   |     |I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|        |3*I*\- log\-2 - I*\/ 5 / + log(3)/|| 
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
                2                  2    9*pi \     \               2                /        \                2                 // 

   /     /         ___\         \            /     /  /     /         ___\         \\        /    /     /         ___\         \\\ 
 I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/  pi    1   |     |I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|        |3*I*\- log\-2 + I*\/ 5 / + log(3)/|| 
(--------------------------------, -- + ----*|4*cos|--------------------------------| + 4*cos|----------------------------------||)
                2                  2    9*pi \     \               2                /        \                2                 // 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{9 \pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle - \frac{8}{9}, \frac{8}{9}\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 + (4*cos(x) + 4*cos(3*x))/((9*pi)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2}$$
- Sí
$$\frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} + \frac{\pi}{2} = - \frac{4 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}}{9 \pi} - \frac{\pi}{2}$$
- No
es decir, función
es
par