Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ pi/8-cosx/pi+sinx/2

Gráfico de la función y = pi/8-cosx/pi+sinx/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi   cos(x)   sin(x)
f(x) = -- - ------ + ------
       8      pi       2
f(x)=(−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2f{\left(x \right)} = \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} 
f = -cos(x)/pi + pi/8 + sin(x)/2
Gráfico de la función
0123456-6-5-4-3-2-12-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2=0\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(−−π4+64+16π2+4π8+π2)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}
x2=−2atan⁡(−π4+64+16π2+4π8+π2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}
Solución numérica
x1=94.090495281354x_{1} = 94.090495281354
x2=−64.6823383891638x_{2} = -64.6823383891638
x3=87.8073099741744x_{3} = 87.8073099741744
x4=92.3972942903258x_{4} = 92.3972942903258
x5=18.6922715951989x_{5} = 18.6922715951989
x6=50.1081981310969x_{6} = 50.1081981310969
x7=43.8250128239173x_{7} = 43.8250128239173
x8=−45.8327824676251x_{8} = -45.8327824676251
x9=56.3913834382764x_{9} = 56.3913834382764
x10=−0.157284326339827x_{10} = -0.157284326339827
x11=86.1141089831463x_{11} = 86.1141089831463
x12=54.6981824472483x_{12} = 54.6981824472483
x13=163.205533660329x_{13} = 163.205533660329
x14=−8.13367062454753x_{14} = -8.13367062454753
x15=−14.4168559317271x_{15} = -14.4168559317271
x16=100.373680588534x_{16} = 100.373680588534
x17=−26.9832265460863x_{17} = -26.9832265460863
x18=−20.7000412389067x_{18} = -20.7000412389067
x19=42.1318118328892x_{19} = 42.1318118328892
x20=−69.2723227053153x_{20} = -69.2723227053153
x21=−118697.504123247x_{21} = -118697.504123247
x22=−39.5495971604455x_{22} = -39.5495971604455
x23=−58.3991530819842x_{23} = -58.3991530819842
x24=−52.1159677748046x_{24} = -52.1159677748046
x25=29.56544121853x_{25} = 29.56544121853
x26=−100.688249241213x_{26} = -100.688249241213
x27=48.4149971400687x_{27} = 48.4149971400687
x28=−88.121878626854x_{28} = -88.121878626854
x29=−12.723654940699x_{29} = -12.723654940699
x30=35.8486265257096x_{30} = 35.8486265257096
x31=−1.85048531736795x_{31} = -1.85048531736795
x32=75.2409393598152x_{32} = 75.2409393598152
x33=−33.2664118532659x_{33} = -33.2664118532659
x34=−232.635140691985x_{34} = -232.635140691985
x35=73.5477383687871x_{35} = 73.5477383687871
x36=−75.5555080124949x_{36} = -75.5555080124949
x37=62.674568745456x_{37} = 62.674568745456
x38=16.9990706041708x_{38} = 16.9990706041708
x39=79.8309236759667x_{39} = 79.8309236759667
x40=−37.8563961694173x_{40} = -37.8563961694173
x41=−96.0982649250617x_{41} = -96.0982649250617
x42=24.9754569023785x_{42} = 24.9754569023785
x43=98.6804795975054x_{43} = 98.6804795975054
x44=−70.9655236963434x_{44} = -70.9655236963434
x45=67.2645530616075x_{45} = 67.2645530616075
x46=−50.4227667837765x_{46} = -50.4227667837765
x47=60.9813677544279x_{47} = 60.9813677544279
x48=13470.9920142667x_{48} = 13470.9920142667
x49=−94.4050639340336x_{49} = -94.4050639340336
x50=−6.44046963351941x_{50} = -6.44046963351941
x51=−1283.620287982x_{51} = -1283.620287982
x52=−89.8150796178822x_{52} = -89.8150796178822
x53=37.5418275167377x_{53} = 37.5418275167377
x54=−81.8386933196744x_{54} = -81.8386933196744
x55=12.4090862880193x_{55} = 12.4090862880193
x56=68.9577540526356x_{56} = 68.9577540526356
x57=−19.0068402478786x_{57} = -19.0068402478786
x58=−56.7059520909561x_{58} = -56.7059520909561
x59=−703.874038730454x_{59} = -703.874038730454
x60=−31.5732108622378x_{60} = -31.5732108622378
x61=81.5241246669948x_{61} = 81.5241246669948
x62=−77.248709003523x_{62} = -77.248709003523
x63=−62.9891373981357x_{63} = -62.9891373981357
x64=6.12590098083976x_{64} = 6.12590098083976
x65=−83.5318943107026x_{65} = -83.5318943107026
x66=4.43269998981164x_{66} = 4.43269998981164
x67=23.2822559113504x_{67} = 23.2822559113504
x68=167.795517976481x_{68} = 167.795517976481
x69=−25.2900255550582x_{69} = -25.2900255550582
x70=−44.1395814765969x_{70} = -44.1395814765969
x71=31.2586422095581x_{71} = 31.2586422095581
x72=10.7158852969912x_{72} = 10.7158852969912
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/8 - cos(x)/pi + sin(x)/2.
sin⁡(0)2+(−cos⁡(0)π+π8)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{2} + \left(- \frac{\cos{\left(0 \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right)
Resultado:
f(0)=−1π+π8f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{\pi} + \frac{\pi}{8}
Punto:
(0, -1/pi + pi/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)π+cos⁡(x)2=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(2−4+π2π)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
x2=2atan⁡(2+4+π2π)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                              /      /       _________\\           /      /       _________\\ 
                              |      |      /       2 ||           |      |      /       2 || 
       /       _________\     |      |2 - \/  4 + pi  ||           |      |2 - \/  4 + pi  || 
       |      /       2 |  sin|2*atan|----------------||        cos|2*atan|----------------|| 
       |2 - \/  4 + pi  |     \      \       pi       //   pi      \      \       pi       // 
(2*atan|----------------|, ----------------------------- + -- - -----------------------------)
       \       pi       /                2                 8                  pi              

                              /      /       _________\\           /      /       _________\\ 
                              |      |      /       2 ||           |      |      /       2 || 
       /       _________\     |      |2 + \/  4 + pi  ||           |      |2 + \/  4 + pi  || 
       |      /       2 |  sin|2*atan|----------------||        cos|2*atan|----------------|| 
       |2 + \/  4 + pi  |     \      \       pi       //   pi      \      \       pi       // 
(2*atan|----------------|, ----------------------------- + -- - -----------------------------)
       \       pi       /                2                 8                  pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2atan⁡(2−4+π2π)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=2atan⁡(2+4+π2π)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(2−4+π2π),2atan⁡(2+4+π2π)]\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2atan⁡(2−4+π2π)]∪[2atan⁡(2+4+π2π),∞)\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)2+cos⁡(x)π=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(2π)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(2π)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(2π),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2)=⟨−1,1⟩π+⟨−12,12⟩+π8\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\pi}{8}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩π+⟨−12,12⟩+π8y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\pi}{8}
lim⁡x→∞((−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2)=⟨−1,1⟩π+⟨−12,12⟩+π8\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\pi}{8}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩π+⟨−12,12⟩+π8y = \frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{\pi} + \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\pi}{8}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/8 - cos(x)/pi + sin(x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2=−sin⁡(x)2−cos⁡(x)π+π8\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}
- No
(−cos⁡(x)π+π8)+sin⁡(x)2=sin⁡(x)2+cos⁡(x)π−π8\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\pi} - \frac{\pi}{8}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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