Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinx+3/4(cos+1)

Gráfico de la función y = sinx+3/4(cos+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                3*(cos(x) + 1)
f(x) = sin(x) + --------------
                      4
f(x)=3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)} 
f = 3*(cos(x) + 1)/4 + sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)=0\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(34)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Solución numérica
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=67.8280361613889x_{2} = 67.8280361613889
x3=−91.106186954104x_{3} = -91.106186954104
x4=−59.6902604182061x_{4} = -59.6902604182061
x5=−21.9911485751286x_{5} = -21.9911485751286
x6=17.5625537039522x_{6} = 17.5625537039522
x7=21.9911485751286x_{7} = 21.9911485751286
x8=42.6952949326705x_{8} = 42.6952949326705
x9=350.57137498447x_{9} = 350.57137498447
x10=3.14159265358979x_{10} = 3.14159265358979
x11=48.9784802398501x_{11} = 48.9784802398501
x12=−3.14159265358979x_{12} = -3.14159265358979
x13=−15.707963267949x_{13} = -15.707963267949
x14=−1.28700221758657x_{14} = -1.28700221758657
x15=−53.4070751110265x_{15} = -53.4070751110265
x16=−70.402040596562x_{16} = -70.402040596562
x17=−72.2566310325652x_{17} = -72.2566310325652
x18=84.8230016469244x_{18} = 84.8230016469244
x19=−71059.6842315475x_{19} = -71059.6842315475
x20=−65.9734457253857x_{20} = -65.9734457253857
x21=−38.9861140606641x_{21} = -38.9861140606641
x22=80.3944067757481x_{22} = 80.3944067757481
x23=9.42477796076938x_{23} = 9.42477796076938
x24=−26.4197434463049x_{24} = -26.4197434463049
x25=−40.8407044966673x_{25} = -40.8407044966673
x26=97.3893722612836x_{26} = 97.3893722612836
x27=−45.2692993678437x_{27} = -45.2692993678437
x28=−76.6852259037416x_{28} = -76.6852259037416
x29=53.4070751110265x_{29} = 53.4070751110265
x30=30.1289243183114x_{30} = 30.1289243183114
x31=−84.8230016469244x_{31} = -84.8230016469244
x32=−95.5347818252804x_{32} = -95.5347818252804
x33=34.5575191894877x_{33} = 34.5575191894877
x34=59.6902604182061x_{34} = 59.6902604182061
x35=−28.2743338823081x_{35} = -28.2743338823081
x36=−89.2515965181008x_{36} = -89.2515965181008
x37=−13.8533728319457x_{37} = -13.8533728319457
x38=15.707963267949x_{38} = 15.707963267949
x39=23.8457390111318x_{39} = 23.8457390111318
x40=11.2793683967726x_{40} = 11.2793683967726
x41=61.5448508542093x_{41} = 61.5448508542093
x42=−82.9684112109212x_{42} = -82.9684112109212
x43=−51.5524846750233x_{43} = -51.5524846750233
x44=91.106186954104x_{44} = 91.106186954104
x45=99.2439626972868x_{45} = 99.2439626972868
x46=86.6775920829276x_{46} = 86.6775920829276
x47=74.1112214685685x_{47} = 74.1112214685685
x48=−47.1238898038469x_{48} = -47.1238898038469
x49=72.2566310325652x_{49} = 72.2566310325652
x50=−34.5575191894877x_{50} = -34.5575191894877
x51=−97.3893722612836x_{51} = -97.3893722612836
x52=92.9607773901072x_{52} = 92.9607773901072
x53=−64.1188552893824x_{53} = -64.1188552893824
x54=−32.7029287534845x_{54} = -32.7029287534845
x55=40.8407044966673x_{55} = 40.8407044966673
x56=−7.57018752476616x_{56} = -7.57018752476616
x57=78.5398163397448x_{57} = 78.5398163397448
x58=−9.42477796076938x_{58} = -9.42477796076938
x59=733.845678722425x_{59} = 733.845678722425
x60=−57.8356699822028x_{60} = -57.8356699822028
x61=55.2616655470297x_{61} = 55.2616655470297
x62=−78.5398163397448x_{62} = -78.5398163397448
x63=−20.1365581391253x_{63} = -20.1365581391253
x64=47.1238898038469x_{64} = 47.1238898038469
x65=28.2743338823081x_{65} = 28.2743338823081
x66=4.99618308959302x_{66} = 4.99618308959302
x67=36.4121096254909x_{67} = 36.4121096254909
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + 3*(cos(x) + 1)/4.
sin⁡(0)+3(cos⁡(0)+1)4\sin{\left(0 \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(0 \right)} + 1\right)}{4}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)4+cos⁡(x)=0- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(43)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(atan(4/3), 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(43)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(43)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(43),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+3cos⁡(x)4)=0- (\sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{4}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(34)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(34)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(34),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x))=⟨−1,52⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, \frac{5}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,52⟩y = \left\langle -1, \frac{5}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x))=⟨−1,52⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, \frac{5}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,52⟩y = \left\langle -1, \frac{5}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + 3*(cos(x) + 1)/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)=3(cos⁡(x)+1)4−sin⁡(x)\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)} = \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} - \sin{\left(x \right)}
- No
3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)=−3(cos⁡(x)+1)4+sin⁡(x)\frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)} = - \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}{4} + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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