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Trazado el gráfico de la función/ -2*pi*(-sin(pi*x/4)/(-16+pi^2)-3*sin(3*pi*x/4)/(-16+9*pi^2)+2*sin(pi*x/2)/(-16+4*pi^2))*sin(4)

Gráfico de la función y = -2*pi*(-sin(pi*x/4)/(-16+pi^2)-3*sin(3*pi*x/4)/(-16+9*pi^2)+2*sin(pi*x/2)/(-16+4*pi^2))*sin(4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             /    /pi*x\         /3*pi*x\        /pi*x\\       
             |-sin|----|    3*sin|------|   2*sin|----||       
             |    \ 4  /         \  4   /        \ 2  /|       
f(x) = -2*pi*|----------- - ------------- + -----------|*sin(4)
             |         2               2              2|       
             \ -16 + pi      -16 + 9*pi     -16 + 4*pi /
$$f{\left(x \right)} = - 2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$ 
f = ((-2*pi)*((-sin((pi*x)/4))/(-16 + pi^2) - 3*sin(((3*pi)*x)/4)/(-16 + 9*pi^2) + (2*sin((pi*x)/2))/(-16 + 4*pi^2)))*sin(4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((-2*pi)*((-sin((pi*x)/4))/(-16 + pi^2) - 3*sin(((3*pi)*x)/4)/(-16 + 9*pi^2) + (2*sin((pi*x)/2))/(-16 + 4*pi^2)))*sin(4).
$$- 2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{0 \pi}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{0 \cdot 3 \pi}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{0 \pi}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}\right) = - 2 \pi \left(\frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{-16 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle}{-4 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle -3, 3\right\rangle}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - 2 \pi \left(\frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{-16 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle}{-4 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle -3, 3\right\rangle}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}\right) = - 2 \pi \left(\frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{-16 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle}{-4 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle -3, 3\right\rangle}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - 2 \pi \left(\frac{\left\langle -1, 1\right\rangle}{-16 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle}{-4 + \pi^{2}} + \frac{\left\langle -3, 3\right\rangle}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-2*pi)*((-sin((pi*x)/4))/(-16 + pi^2) - 3*sin(((3*pi)*x)/4)/(-16 + 9*pi^2) + (2*sin((pi*x)/2))/(-16 + 4*pi^2)))*sin(4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)} = - 2 \pi \left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}} + \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
- No
$$- 2 \pi \left(\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) + \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)} = 2 \pi \left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{-16 + \pi^{2}} - \frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-16 + 4 \pi^{2}} + \frac{3 \sin{\left(\frac{3 \pi x}{4} \right)}}{-16 + 9 \pi^{2}}\right) \sin{\left(4 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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