Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3+3*x^2+1
-
(2*x+3)*e^(5*x)
-
x^3+2*x
-
Expresiones idénticas
- uno -(cuatro /pi^ dos)*cos(pi*x/ dos)-(cuatro /pi)sin(pi*x/ dos)
- 1 menos (4 dividir por número pi al cuadrado ) multiplicar por coseno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2) menos (4 dividir por número pi ) seno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2)
- uno menos (cuatro dividir por número pi en el grado dos) multiplicar por coseno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos) menos (cuatro dividir por número pi ) seno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos)
- 1-(4/pi2)*cos(pi*x/2)-(4/pi)sin(pi*x/2)
- 1-4/pi2*cospi*x/2-4/pisinpi*x/2
- 1-(4/pi²)*cos(pi*x/2)-(4/pi)sin(pi*x/2)
- 1-(4/pi en el grado 2)*cos(pi*x/2)-(4/pi)sin(pi*x/2)
- 1-(4/pi^2)cos(pix/2)-(4/pi)sin(pix/2)
- 1-(4/pi2)cos(pix/2)-(4/pi)sin(pix/2)
- 1-4/pi2cospix/2-4/pisinpix/2
- 1-4/pi^2cospix/2-4/pisinpix/2
- 1-(4 dividir por pi^2)*cos(pi*x dividir por 2)-(4 dividir por pi)sin(pi*x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- 1+(4/pi^2)*cos(pi*x/2)-(4/pi)sin(pi*x/2)
- 1-(4/pi^2)*cos(pi*x/2)+(4/pi)sin(pi*x/2)
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
- pi/4+x/2
- pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))
- Coseno cos
- cos(x)/(1+x^2)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos(4*x)/sin(8*x)
- cos(x+pi/6)-3
- cos1/x
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
- pi/4+x/2
- pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
- pi/4+x/2
- pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))
- Seno sin
- sin(x)+3*cos(x)
- sin(x)^(2)*cos(x)^(2)
- sin(x)+5*cos(x)
- sin(x)+1/3*sin(3*x)
- sin6x+2cos3x
- Número Pi pi
- pi/2+(4*cos(x)+4*cos(3*x))/(9*pi)
- pi-2*arcsin(2.752x)
- pi-asin((-1+log(cos(x)))/cos(x))
- pi/4+x/2
- pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))
Gráfico de la función y = 1-(4/pi^2)*cos(pi*x/2)-(4/pi)sin(pi*x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
4 /pi*x\ 4 /pi*x\
f(x) = 1 - ---*cos|----| - --*sin|----|
2 \ 2 / pi \ 2 /
pi
$$f{\left(x \right)} = \left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$$
f = -4/pi^2*cos((pi*x)/2) + 1 - 4/pi*sin((pi*x)/2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{- \pi^{4} + 16 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{4 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \pi^{4} + 16 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{4 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 72.3421672241051$$
$$x_{2} = 20.3421672241051$$
$$x_{3} = 76.3421672241051$$
$$x_{4} = 36.3421672241051$$
$$x_{5} = 40.3421672241051$$
$$x_{6} = 65.2654597280857$$
$$x_{7} = 9.26545972808568$$
$$x_{8} = 8.34216722410514$$
$$x_{9} = -87.6578327758949$$
$$x_{10} = -6.73454027191432$$
$$x_{11} = 80.3421672241051$$
$$x_{12} = -47.6578327758949$$
$$x_{13} = -15.6578327758949$$
$$x_{14} = 57.2654597280857$$
$$x_{15} = -26.7345402719143$$
$$x_{16} = -42.7345402719143$$
$$x_{17} = 100.342167224105$$
$$x_{18} = -66.7345402719143$$
$$x_{19} = 25.2654597280857$$
$$x_{20} = -79.6578327758949$$
$$x_{21} = -63.6578327758949$$
$$x_{22} = 4.34216722410514$$
$$x_{23} = 89.2654597280857$$
$$x_{24} = -71.6578327758949$$
$$x_{25} = 5.26545972808568$$
$$x_{26} = -14.7345402719143$$
$$x_{27} = 81.2654597280857$$
$$x_{28} = -7.65783277589486$$
$$x_{29} = -22.7345402719143$$
$$x_{30} = 84.3421672241051$$
$$x_{31} = 17.2654597280857$$
$$x_{32} = -62.7345402719143$$
$$x_{33} = -3.65783277589486$$
$$x_{34} = 16.3421672241051$$
$$x_{35} = -58.7345402719143$$
$$x_{36} = 97.2654597280857$$
$$x_{37} = 37.2654597280857$$
$$x_{38} = 21.2654597280857$$
$$x_{39} = -35.6578327758949$$
$$x_{40} = 0.342167224105144$$
$$x_{41} = 13.2654597280857$$
$$x_{42} = 29.2654597280857$$
$$x_{43} = -38.7345402719143$$
$$x_{44} = -78.7345402719143$$
$$x_{45} = 88.3421672241051$$
$$x_{46} = 45.2654597280857$$
$$x_{47} = 77.2654597280857$$
$$x_{48} = 41.2654597280857$$
$$x_{49} = 53.2654597280857$$
$$x_{50} = 28.3421672241051$$
$$x_{51} = 1.26545972808568$$
$$x_{52} = -31.6578327758949$$
$$x_{53} = 33.2654597280857$$
$$x_{54} = 85.2654597280857$$
$$x_{55} = -59.6578327758949$$
$$x_{56} = -94.7345402719143$$
$$x_{57} = 44.3421672241051$$
$$x_{58} = -10.7345402719143$$
$$x_{59} = 69.2654597280857$$
$$x_{60} = -86.7345402719143$$
$$x_{61} = 60.3421672241051$$
$$x_{62} = -27.6578327758949$$
$$x_{63} = -83.6578327758949$$
$$x_{64} = -54.7345402719143$$
$$x_{65} = -74.7345402719143$$
$$x_{66} = -30.7345402719143$$
$$x_{67} = -46.7345402719143$$
$$x_{68} = -19.6578327758949$$
$$x_{69} = 92.3421672241051$$
$$x_{70} = 64.3421672241051$$
$$x_{71} = 73.2654597280857$$
$$x_{72} = 52.3421672241051$$
$$x_{73} = 32.3421672241051$$
$$x_{74} = -23.6578327758949$$
$$x_{75} = -82.7345402719143$$
$$x_{76} = -51.6578327758949$$
$$x_{77} = -99.6578327758949$$
$$x_{78} = -43.6578327758949$$
$$x_{79} = 12.3421672241051$$
$$x_{80} = -98.7345402719143$$
$$x_{81} = 68.3421672241051$$
$$x_{82} = -2.73454027191432$$
$$x_{83} = 93.2654597280857$$
$$x_{84} = 48.3421672241051$$
$$x_{85} = -91.6578327758949$$
$$x_{86} = 49.2654597280857$$
$$x_{87} = -34.7345402719143$$
$$x_{88} = 61.2654597280857$$
$$x_{89} = 56.3421672241051$$
$$x_{90} = -50.7345402719143$$
$$x_{91} = -75.6578327758949$$
$$x_{92} = -90.7345402719143$$
$$x_{93} = 96.3421672241051$$
$$x_{94} = -11.6578327758949$$
$$x_{95} = -70.7345402719143$$
$$x_{96} = 24.3421672241051$$
$$x_{97} = -55.6578327758949$$
$$x_{98} = -67.6578327758949$$
$$x_{99} = -39.6578327758949$$
$$x_{100} = -18.7345402719143$$
$$x_{101} = -95.6578327758949$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{- \pi^{4} + 16 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{4 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \pi^{4} + 16 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{4 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 72.3421672241051$$
$$x_{2} = 20.3421672241051$$
$$x_{3} = 76.3421672241051$$
$$x_{4} = 36.3421672241051$$
$$x_{5} = 40.3421672241051$$
$$x_{6} = 65.2654597280857$$
$$x_{7} = 9.26545972808568$$
$$x_{8} = 8.34216722410514$$
$$x_{9} = -87.6578327758949$$
$$x_{10} = -6.73454027191432$$
$$x_{11} = 80.3421672241051$$
$$x_{12} = -47.6578327758949$$
$$x_{13} = -15.6578327758949$$
$$x_{14} = 57.2654597280857$$
$$x_{15} = -26.7345402719143$$
$$x_{16} = -42.7345402719143$$
$$x_{17} = 100.342167224105$$
$$x_{18} = -66.7345402719143$$
$$x_{19} = 25.2654597280857$$
$$x_{20} = -79.6578327758949$$
$$x_{21} = -63.6578327758949$$
$$x_{22} = 4.34216722410514$$
$$x_{23} = 89.2654597280857$$
$$x_{24} = -71.6578327758949$$
$$x_{25} = 5.26545972808568$$
$$x_{26} = -14.7345402719143$$
$$x_{27} = 81.2654597280857$$
$$x_{28} = -7.65783277589486$$
$$x_{29} = -22.7345402719143$$
$$x_{30} = 84.3421672241051$$
$$x_{31} = 17.2654597280857$$
$$x_{32} = -62.7345402719143$$
$$x_{33} = -3.65783277589486$$
$$x_{34} = 16.3421672241051$$
$$x_{35} = -58.7345402719143$$
$$x_{36} = 97.2654597280857$$
$$x_{37} = 37.2654597280857$$
$$x_{38} = 21.2654597280857$$
$$x_{39} = -35.6578327758949$$
$$x_{40} = 0.342167224105144$$
$$x_{41} = 13.2654597280857$$
$$x_{42} = 29.2654597280857$$
$$x_{43} = -38.7345402719143$$
$$x_{44} = -78.7345402719143$$
$$x_{45} = 88.3421672241051$$
$$x_{46} = 45.2654597280857$$
$$x_{47} = 77.2654597280857$$
$$x_{48} = 41.2654597280857$$
$$x_{49} = 53.2654597280857$$
$$x_{50} = 28.3421672241051$$
$$x_{51} = 1.26545972808568$$
$$x_{52} = -31.6578327758949$$
$$x_{53} = 33.2654597280857$$
$$x_{54} = 85.2654597280857$$
$$x_{55} = -59.6578327758949$$
$$x_{56} = -94.7345402719143$$
$$x_{57} = 44.3421672241051$$
$$x_{58} = -10.7345402719143$$
$$x_{59} = 69.2654597280857$$
$$x_{60} = -86.7345402719143$$
$$x_{61} = 60.3421672241051$$
$$x_{62} = -27.6578327758949$$
$$x_{63} = -83.6578327758949$$
$$x_{64} = -54.7345402719143$$
$$x_{65} = -74.7345402719143$$
$$x_{66} = -30.7345402719143$$
$$x_{67} = -46.7345402719143$$
$$x_{68} = -19.6578327758949$$
$$x_{69} = 92.3421672241051$$
$$x_{70} = 64.3421672241051$$
$$x_{71} = 73.2654597280857$$
$$x_{72} = 52.3421672241051$$
$$x_{73} = 32.3421672241051$$
$$x_{74} = -23.6578327758949$$
$$x_{75} = -82.7345402719143$$
$$x_{76} = -51.6578327758949$$
$$x_{77} = -99.6578327758949$$
$$x_{78} = -43.6578327758949$$
$$x_{79} = 12.3421672241051$$
$$x_{80} = -98.7345402719143$$
$$x_{81} = 68.3421672241051$$
$$x_{82} = -2.73454027191432$$
$$x_{83} = 93.2654597280857$$
$$x_{84} = 48.3421672241051$$
$$x_{85} = -91.6578327758949$$
$$x_{86} = 49.2654597280857$$
$$x_{87} = -34.7345402719143$$
$$x_{88} = 61.2654597280857$$
$$x_{89} = 56.3421672241051$$
$$x_{90} = -50.7345402719143$$
$$x_{91} = -75.6578327758949$$
$$x_{92} = -90.7345402719143$$
$$x_{93} = 96.3421672241051$$
$$x_{94} = -11.6578327758949$$
$$x_{95} = -70.7345402719143$$
$$x_{96} = 24.3421672241051$$
$$x_{97} = -55.6578327758949$$
$$x_{98} = -67.6578327758949$$
$$x_{99} = -39.6578327758949$$
$$x_{100} = -18.7345402719143$$
$$x_{101} = -95.6578327758949$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
$$x_{2} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}\right] \cup \left[- \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}, - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi} - 2 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
$$x_{2} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _________\ / / _________\\ / / _________\\
| / 2 | | | / 2 || | | / 2 ||
|1 - \/ 1 + pi | | |1 - \/ 1 + pi || | |1 - \/ 1 + pi ||
-4*atan|----------------| 4*cos|2*atan|----------------|| 4*sin|2*atan|----------------||
\ pi / \ \ pi // \ \ pi //
(-------------------------, 1 - ------------------------------- + -------------------------------)
pi 2 pi
pi / _________\ / / _________\\ / / _________\\
| / 2 | | | / 2 || | | / 2 ||
|1 + \/ 1 + pi | | |1 + \/ 1 + pi || | |1 + \/ 1 + pi ||
-4*atan|----------------| 4*cos|2*atan|----------------|| 4*sin|2*atan|----------------||
\ pi / \ \ pi // \ \ pi //
(-------------------------, 1 - ------------------------------- + -------------------------------)
pi 2 pi
pi Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}\right] \cup \left[- \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}, - \frac{4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}}{\pi}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}}{\pi}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi^{2}} + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - 4/pi^2*cos((pi*x)/2) - 4/pi*sin((pi*x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi^{2}} + 1$$
- No
$$\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = - \frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi} + \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi^{2}} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi} - \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi^{2}} + 1$$
- No
$$\left(- \frac{4}{\pi^{2}} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) - \frac{4}{\pi} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = - \frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi} + \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi^{2}} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar