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cos(x)+sqrt(2)/2
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)+sqrt(2)/2

Gráfico de la función y = cos(x)+sqrt(2)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ___
                \/ 2 
f(x) = cos(x) + -----
                  2
f(x)=cos⁡(x)+22f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} 
f = cos(x) + sqrt(2)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + sqrt(2)/2.
22+cos⁡(0)\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=22+1f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
Punto:
(0, 1 + sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
          ___ 
        \/ 2  
(0, 1 + -----)
          2   

            ___ 
          \/ 2  
(pi, -1 + -----)
            2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+22)=⟨−1,1⟩+22\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+22y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+22)=⟨−1,1⟩+22\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+22y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \frac{\sqrt{2}}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + sqrt(2)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+22x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+22x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+22=cos⁡(x)+22\cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2}
- Sí
cos⁡(x)+22=−cos⁡(x)−22\cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \cos{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{2}}{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)+sqrt(2)/2
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