Sr Examen

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cos(x)+sin(2*x)/2
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)+sin(2*x)/2

Gráfico de la función y = cos(x)+sin(2*x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                sin(2*x)
f(x) = cos(x) + --------
                   2
f(x)=sin⁡(2x)2+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} 
f = sin(2*x)/2 + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)2+cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=32.9867228626928x_{1} = 32.9867228626928
x2=−45.5531406161696x_{2} = -45.5531406161696
x3=−7.85396934854081x_{3} = -7.85396934854081
x4=36.1283177986942x_{4} = 36.1283177986942
x5=67.5443499931316x_{5} = 67.5443499931316
x6=95.8185759344887x_{6} = 95.8185759344887
x7=45.553093477052x_{7} = 45.553093477052
x8=70.6858347057703x_{8} = 70.6858347057703
x9=−95.8185602777545x_{9} = -95.8185602777545
x10=26.7035375555132x_{10} = 26.7035375555132
x11=−23.5619449019235x_{11} = -23.5619449019235
x12=42.4116084929189x_{12} = 42.4116084929189
x13=−17.2787595947439x_{13} = -17.2787595947439
x14=48.6945895587878x_{14} = 48.6945895587878
x15=−20.4202507419375x_{15} = -20.4202507419375
x16=−42.4115008234622x_{16} = -42.4115008234622
x17=−45.553042714615x_{17} = -45.553042714615
x18=−61.261056745001x_{18} = -61.261056745001
x19=4.71228918668806x_{19} = 4.71228918668806
x20=−92.6769832808989x_{20} = -92.6769832808989
x21=92.6768899714075x_{21} = 92.6768899714075
x22=80.1106034946956x_{22} = 80.1106034946956
x23=−58.119532055033x_{23} = -58.119532055033
x24=14.1371669411541x_{24} = 14.1371669411541
x25=−83.2523114345838x_{25} = -83.2523114345838
x26=29.8450277989543x_{26} = 29.8450277989543
x27=1393.29636850171x_{27} = 1393.29636850171
x28=1.5707963267949x_{28} = 1.5707963267949
x29=−29.845130209103x_{29} = -29.845130209103
x30=−89.535441589746x_{30} = -89.535441589746
x31=−14.1372535946994x_{31} = -14.1372535946994
x32=−64.4025511842224x_{32} = -64.4025511842224
x33=86.3938908510206x_{33} = 86.3938908510206
x34=−48.6946861306418x_{34} = -48.6946861306418
x35=−73.8274273593601x_{35} = -73.8274273593601
x36=80.1107065596659x_{36} = 80.1107065596659
x37=−51.836262485438x_{37} = -51.836262485438
x38=20.4203522483337x_{38} = 20.4203522483337
x39=−86.3937979737193x_{39} = -86.3937979737193
x40=73.827477322712x_{40} = 73.827477322712
x41=58.1194640914112x_{41} = 58.1194640914112
x42=51.8362787842316x_{42} = 51.8362787842316
x43=−67.5442420521806x_{43} = -67.5442420521806
x44=−45.5529627112364x_{44} = -45.5529627112364
x45=−4.71238898038469x_{45} = -4.71238898038469
x46=42.4114614973024x_{46} = 42.4114614973024
x47=4.71247207702943x_{47} = 4.71247207702943
x48=−39.2700111445703x_{48} = -39.2700111445703
x49=−1.5708395883501x_{49} = -1.5708395883501
x50=−1.57067615583836x_{50} = -1.57067615583836
x51=−83.2520989260588x_{51} = -83.2520989260588
x52=89.5353906273091x_{52} = 89.5353906273091
x53=73.827311651389x_{53} = 73.827311651389
x54=76.9690200129499x_{54} = 76.9690200129499
x55=−51.8362552464215x_{55} = -51.8362552464215
x56=86.3937626449816x_{56} = 86.3937626449816
x57=−14.1371257126071x_{57} = -14.1371257126071
x58=−95.8185821748531x_{58} = -95.8185821748531
x59=−36.1283155162826x_{59} = -36.1283155162826
x60=7.85398163397448x_{60} = 7.85398163397448
x61=−7.8541073681749x_{61} = -7.8541073681749
x62=−80.1106126665397x_{62} = -80.1106126665397
x63=−58.1194274499719x_{63} = -58.1194274499719
x64=29.8451758719219x_{64} = 29.8451758719219
x65=64.4026493985908x_{65} = 64.4026493985908
x66=23.5620496503301x_{66} = 23.5620496503301
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + sin(2*x)/2.
sin⁡(0⋅2)2+cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 0)
  2      

         ___ 
 pi  3*\/ 3  
(--, -------)
 6      4    

            ___ 
 5*pi  -3*\/ 3  
(----, --------)
  6       4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π6,5π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2sin⁡(2x)+cos⁡(x))=0- (2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−154−i4)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}
x4=−ilog⁡(154−i4)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−atan⁡(1515),π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x))=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x))=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)+sin(2*x)/2
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