Sr Examen

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cos(2*x)+sin(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(2*x)+sin(2*x)

Gráfico de la función y = cos(2*x)+sin(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(2*x) + sin(2*x)
f(x)=sin⁡(2x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(2*x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=0\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}
Solución numérica
x1=−8.24668071567321x_{1} = -8.24668071567321
x2=−33.3794219443916x_{2} = -33.3794219443916
x3=−82.0741080750334x_{3} = -82.0741080750334
x4=−45.9457925587507x_{4} = -45.9457925587507
x5=−99.3528676697772x_{5} = -99.3528676697772
x6=−31.8086256175967x_{6} = -31.8086256175967
x7=13.7444678594553x_{7} = 13.7444678594553
x8=−1.96349540849362x_{8} = -1.96349540849362
x9=10.6028752058656x_{9} = 10.6028752058656
x10=76.5763209312512x_{10} = 76.5763209312512
x11=12.1736715326604x_{11} = 12.1736715326604
x12=−3.53429173528852x_{12} = -3.53429173528852
x13=−36.5210145979813x_{13} = -36.5210145979813
x14=−96.2112750161874x_{14} = -96.2112750161874
x15=40.4480054149686x_{15} = 40.4480054149686
x16=−66.3661448070844x_{16} = -66.3661448070844
x17=−11.388273369263x_{17} = -11.388273369263
x18=70.2931356240716x_{18} = 70.2931356240716
x19=18.45685683984x_{19} = 18.45685683984
x20=−44.3749962319558x_{20} = -44.3749962319558
x21=92.2842841992002x_{21} = 92.2842841992002
x22=5.89048622548086x_{22} = 5.89048622548086
x23=98.5674695063798x_{23} = 98.5674695063798
x24=93.8550805259951x_{24} = 93.8550805259951
x25=54.5851723561227x_{25} = 54.5851723561227
x26=−0.392699081698724x_{26} = -0.392699081698724
x27=65.5807466436869x_{27} = 65.5807466436869
x28=49.872783375738x_{28} = 49.872783375738
x29=−22.3838476568273x_{29} = -22.3838476568273
x30=−52.2289778659303x_{30} = -52.2289778659303
x31=56.1559686829176x_{31} = 56.1559686829176
x32=62.4391539900971x_{32} = 62.4391539900971
x33=20.0276531666349x_{33} = 20.0276531666349
x34=87.5718952188155x_{34} = 87.5718952188155
x35=−97.7820713429823x_{35} = -97.7820713429823
x36=−25.5254403104171x_{36} = -25.5254403104171
x37=−61.6537558266997x_{37} = -61.6537558266997
x38=68.7223392972767x_{38} = 68.7223392972767
x39=26.3108384738145x_{39} = 26.3108384738145
x40=71.8639319508665x_{40} = 71.8639319508665
x41=−39.6626072515711x_{41} = -39.6626072515711
x42=35.7356164345839x_{42} = 35.7356164345839
x43=32.5940237809941x_{43} = 32.5940237809941
x44=−47.5165888855456x_{44} = -47.5165888855456
x45=27.8816348006094x_{45} = 27.8816348006094
x46=−16.1006623496477x_{46} = -16.1006623496477
x47=−58.5121631731099x_{47} = -58.5121631731099
x48=−38.0918109247762x_{48} = -38.0918109247762
x49=−53.7997741927252x_{49} = -53.7997741927252
x50=−17.6714586764426x_{50} = -17.6714586764426
x51=64.009950316892x_{51} = 64.009950316892
x52=42.0188017417635x_{52} = 42.0188017417635
x53=−74.2201264410589x_{53} = -74.2201264410589
x54=−69.5077374606742x_{54} = -69.5077374606742
x55=−184.175869316702x_{55} = -184.175869316702
x56=−89.9280897090078x_{56} = -89.9280897090078
x57=−67.9369411338793x_{57} = -67.9369411338793
x58=4.31968989868597x_{58} = 4.31968989868597
x59=−77.3617190946487x_{59} = -77.3617190946487
x60=86.0010988920206x_{60} = 86.0010988920206
x61=48.3019870489431x_{61} = 48.3019870489431
x62=21.5984494934298x_{62} = 21.5984494934298
x63=90.7134878724053x_{63} = 90.7134878724053
x64=9.03207887907065x_{64} = 9.03207887907065
x65=−30.2378292908018x_{65} = -30.2378292908018
x66=−80.5033117482384x_{66} = -80.5033117482384
x67=−88.3572933822129x_{67} = -88.3572933822129
x68=18993.6764845222x_{68} = 18993.6764845222
x69=−60.0829594999048x_{69} = -60.0829594999048
x70=84.4303025652257x_{70} = 84.4303025652257
x71=−91.4988860358027x_{71} = -91.4988860358027
x72=24.7400421470196x_{72} = 24.7400421470196
x73=2.74889357189107x_{73} = 2.74889357189107
x74=−75.7909227678538x_{74} = -75.7909227678538
x75=79.717913584841x_{75} = 79.717913584841
x76=−9.8174770424681x_{76} = -9.8174770424681
x77=43.5895980685584x_{77} = 43.5895980685584
x78=34.164820107789x_{78} = 34.164820107789
x79=−41.233403578366x_{79} = -41.233403578366
x80=100.138265833175x_{80} = 100.138265833175
x81=−19.2422550032375x_{81} = -19.2422550032375
x82=78.1471172580461x_{82} = 78.1471172580461
x83=−23.9546439836222x_{83} = -23.9546439836222
x84=46.7311907221482x_{84} = 46.7311907221482
x85=−55.3705705195201x_{85} = -55.3705705195201
x86=57.7267650097125x_{86} = 57.7267650097125
x87=−83.6449044018282x_{87} = -83.6449044018282
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x) + sin(2*x).
sin⁡(0⋅2)+cos⁡(0⋅2)\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___ 
(--, \/ 2 )
 8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
Decrece en los intervalos
(−∞,π8]\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
[π8,∞)\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=0- 4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π8x_{1} = - \frac{\pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π8]\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right]
Convexa en los intervalos
[−π8,∞)\left[- \frac{\pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) + sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=−sin⁡(2x)+cos⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=sin⁡(2x)−cos⁡(2x)\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(2*x)+sin(2*x)
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