Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- cos(dos *x)+sin(dos *x)
- coseno de (2 multiplicar por x) más seno de (2 multiplicar por x)
- coseno de (dos multiplicar por x) más seno de (dos multiplicar por x)
- cos(2x)+sin(2x)
- cos2x+sin2x
-
Expresiones semejantes
- cos(2*x)-sin(2*x)
- cos^2(x)+sin^2(x)
- y=sin3xcos2x+sin2xcos3x
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+exp(x)+exp(-x)+sin(x)
- cos(x)-3
- cos(x)*4*x
- cos(x)/8+cos(3*x)+sin(3*x)
- cos(x)+1/cos(x)
- Seno sin
- sin(x)+x
- sin(x)*sin(3*x)
- sin(x)/sin(x+pi/4)
- sinx+cos^2x
- sin(x)*cos(x)^(2)
Gráfico de la función y = cos(2*x)+sin(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(2*x) + sin(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
f = sin(2*x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8.24668071567321$$
$$x_{2} = -33.3794219443916$$
$$x_{3} = -82.0741080750334$$
$$x_{4} = -45.9457925587507$$
$$x_{5} = -99.3528676697772$$
$$x_{6} = -31.8086256175967$$
$$x_{7} = 13.7444678594553$$
$$x_{8} = -1.96349540849362$$
$$x_{9} = 10.6028752058656$$
$$x_{10} = 76.5763209312512$$
$$x_{11} = 12.1736715326604$$
$$x_{12} = -3.53429173528852$$
$$x_{13} = -36.5210145979813$$
$$x_{14} = -96.2112750161874$$
$$x_{15} = 40.4480054149686$$
$$x_{16} = -66.3661448070844$$
$$x_{17} = -11.388273369263$$
$$x_{18} = 70.2931356240716$$
$$x_{19} = 18.45685683984$$
$$x_{20} = -44.3749962319558$$
$$x_{21} = 92.2842841992002$$
$$x_{22} = 5.89048622548086$$
$$x_{23} = 98.5674695063798$$
$$x_{24} = 93.8550805259951$$
$$x_{25} = 54.5851723561227$$
$$x_{26} = -0.392699081698724$$
$$x_{27} = 65.5807466436869$$
$$x_{28} = 49.872783375738$$
$$x_{29} = -22.3838476568273$$
$$x_{30} = -52.2289778659303$$
$$x_{31} = 56.1559686829176$$
$$x_{32} = 62.4391539900971$$
$$x_{33} = 20.0276531666349$$
$$x_{34} = 87.5718952188155$$
$$x_{35} = -97.7820713429823$$
$$x_{36} = -25.5254403104171$$
$$x_{37} = -61.6537558266997$$
$$x_{38} = 68.7223392972767$$
$$x_{39} = 26.3108384738145$$
$$x_{40} = 71.8639319508665$$
$$x_{41} = -39.6626072515711$$
$$x_{42} = 35.7356164345839$$
$$x_{43} = 32.5940237809941$$
$$x_{44} = -47.5165888855456$$
$$x_{45} = 27.8816348006094$$
$$x_{46} = -16.1006623496477$$
$$x_{47} = -58.5121631731099$$
$$x_{48} = -38.0918109247762$$
$$x_{49} = -53.7997741927252$$
$$x_{50} = -17.6714586764426$$
$$x_{51} = 64.009950316892$$
$$x_{52} = 42.0188017417635$$
$$x_{53} = -74.2201264410589$$
$$x_{54} = -69.5077374606742$$
$$x_{55} = -184.175869316702$$
$$x_{56} = -89.9280897090078$$
$$x_{57} = -67.9369411338793$$
$$x_{58} = 4.31968989868597$$
$$x_{59} = -77.3617190946487$$
$$x_{60} = 86.0010988920206$$
$$x_{61} = 48.3019870489431$$
$$x_{62} = 21.5984494934298$$
$$x_{63} = 90.7134878724053$$
$$x_{64} = 9.03207887907065$$
$$x_{65} = -30.2378292908018$$
$$x_{66} = -80.5033117482384$$
$$x_{67} = -88.3572933822129$$
$$x_{68} = 18993.6764845222$$
$$x_{69} = -60.0829594999048$$
$$x_{70} = 84.4303025652257$$
$$x_{71} = -91.4988860358027$$
$$x_{72} = 24.7400421470196$$
$$x_{73} = 2.74889357189107$$
$$x_{74} = -75.7909227678538$$
$$x_{75} = 79.717913584841$$
$$x_{76} = -9.8174770424681$$
$$x_{77} = 43.5895980685584$$
$$x_{78} = 34.164820107789$$
$$x_{79} = -41.233403578366$$
$$x_{80} = 100.138265833175$$
$$x_{81} = -19.2422550032375$$
$$x_{82} = 78.1471172580461$$
$$x_{83} = -23.9546439836222$$
$$x_{84} = 46.7311907221482$$
$$x_{85} = -55.3705705195201$$
$$x_{86} = 57.7267650097125$$
$$x_{87} = -83.6449044018282$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8.24668071567321$$
$$x_{2} = -33.3794219443916$$
$$x_{3} = -82.0741080750334$$
$$x_{4} = -45.9457925587507$$
$$x_{5} = -99.3528676697772$$
$$x_{6} = -31.8086256175967$$
$$x_{7} = 13.7444678594553$$
$$x_{8} = -1.96349540849362$$
$$x_{9} = 10.6028752058656$$
$$x_{10} = 76.5763209312512$$
$$x_{11} = 12.1736715326604$$
$$x_{12} = -3.53429173528852$$
$$x_{13} = -36.5210145979813$$
$$x_{14} = -96.2112750161874$$
$$x_{15} = 40.4480054149686$$
$$x_{16} = -66.3661448070844$$
$$x_{17} = -11.388273369263$$
$$x_{18} = 70.2931356240716$$
$$x_{19} = 18.45685683984$$
$$x_{20} = -44.3749962319558$$
$$x_{21} = 92.2842841992002$$
$$x_{22} = 5.89048622548086$$
$$x_{23} = 98.5674695063798$$
$$x_{24} = 93.8550805259951$$
$$x_{25} = 54.5851723561227$$
$$x_{26} = -0.392699081698724$$
$$x_{27} = 65.5807466436869$$
$$x_{28} = 49.872783375738$$
$$x_{29} = -22.3838476568273$$
$$x_{30} = -52.2289778659303$$
$$x_{31} = 56.1559686829176$$
$$x_{32} = 62.4391539900971$$
$$x_{33} = 20.0276531666349$$
$$x_{34} = 87.5718952188155$$
$$x_{35} = -97.7820713429823$$
$$x_{36} = -25.5254403104171$$
$$x_{37} = -61.6537558266997$$
$$x_{38} = 68.7223392972767$$
$$x_{39} = 26.3108384738145$$
$$x_{40} = 71.8639319508665$$
$$x_{41} = -39.6626072515711$$
$$x_{42} = 35.7356164345839$$
$$x_{43} = 32.5940237809941$$
$$x_{44} = -47.5165888855456$$
$$x_{45} = 27.8816348006094$$
$$x_{46} = -16.1006623496477$$
$$x_{47} = -58.5121631731099$$
$$x_{48} = -38.0918109247762$$
$$x_{49} = -53.7997741927252$$
$$x_{50} = -17.6714586764426$$
$$x_{51} = 64.009950316892$$
$$x_{52} = 42.0188017417635$$
$$x_{53} = -74.2201264410589$$
$$x_{54} = -69.5077374606742$$
$$x_{55} = -184.175869316702$$
$$x_{56} = -89.9280897090078$$
$$x_{57} = -67.9369411338793$$
$$x_{58} = 4.31968989868597$$
$$x_{59} = -77.3617190946487$$
$$x_{60} = 86.0010988920206$$
$$x_{61} = 48.3019870489431$$
$$x_{62} = 21.5984494934298$$
$$x_{63} = 90.7134878724053$$
$$x_{64} = 9.03207887907065$$
$$x_{65} = -30.2378292908018$$
$$x_{66} = -80.5033117482384$$
$$x_{67} = -88.3572933822129$$
$$x_{68} = 18993.6764845222$$
$$x_{69} = -60.0829594999048$$
$$x_{70} = 84.4303025652257$$
$$x_{71} = -91.4988860358027$$
$$x_{72} = 24.7400421470196$$
$$x_{73} = 2.74889357189107$$
$$x_{74} = -75.7909227678538$$
$$x_{75} = 79.717913584841$$
$$x_{76} = -9.8174770424681$$
$$x_{77} = 43.5895980685584$$
$$x_{78} = 34.164820107789$$
$$x_{79} = -41.233403578366$$
$$x_{80} = 100.138265833175$$
$$x_{81} = -19.2422550032375$$
$$x_{82} = 78.1471172580461$$
$$x_{83} = -23.9546439836222$$
$$x_{84} = 46.7311907221482$$
$$x_{85} = -55.3705705195201$$
$$x_{86} = 57.7267650097125$$
$$x_{87} = -83.6449044018282$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi ___ (--, \/ 2 ) 8
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x) + sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
$$\sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico