Sr Examen

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sin(x/5)*exp(x/10)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x/5)*exp(x/10)

Gráfico de la función y = sin(x/5)*exp(x/10)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               x 
               --
          /x\  10
f(x) = sin|-|*e  
          \5/
f(x)=ex10sin⁡(x5)f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} 
f = exp(x/10)*sin(x/5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex10sin⁡(x5)=0e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Solución numérica
x1=−62.8318530717959x_{1} = -62.8318530717959
x2=31.4159265358979x_{2} = 31.4159265358979
x3=78.5398163397448x_{3} = 78.5398163397448
x4=−78.5398163397448x_{4} = -78.5398163397448
x5=−47.1238898038469x_{5} = -47.1238898038469
x6=−329.867228626928x_{6} = -329.867228626928
x7=−31.4159265358979x_{7} = -31.4159265358979
x8=62.8318530717959x_{8} = 62.8318530717959
x9=−94.2477796076938x_{9} = -94.2477796076938
x10=−424.115008234622x_{10} = -424.115008234622
x11=−15.707963267949x_{11} = -15.707963267949
x12=47.1238898038469x_{12} = 47.1238898038469
x13=94.2477796076938x_{13} = 94.2477796076938
x14=0x_{14} = 0
x15=15.707963267949x_{15} = 15.707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/5)*exp(x/10).
e010sin⁡(05)e^{\frac{0}{10}} \sin{\left(\frac{0}{5} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex10sin⁡(x5)10+ex10cos⁡(x5)5=0\frac{e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{10} + \frac{e^{\frac{x}{10}} \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5atan⁡(2)x_{1} = - 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                       -atan(2)  
                       --------- 
                  ___      2     
             -2*\/ 5 *e          
(-5*atan(2), -------------------)
                      5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5atan⁡(2)x_{1} = - 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−5atan⁡(2),∞)\left[- 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5atan⁡(2)]\left(-\infty, - 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−3sin⁡(x5)+4cos⁡(x5))ex10100=0\frac{\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) e^{\frac{x}{10}}}{100} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5i(log⁡(5)−log⁡(3+4i))x_{1} = 5 i \left(\log{\left(5 \right)} - \log{\left(3 + 4 i \right)}\right)
x2=−5ilog⁡(−i(4−3i)5)x_{2} = - 5 i \log{\left(- \frac{i \left(4 - 3 i\right)}{5} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−5π+5atan⁡(43),5atan⁡(43)]\left[- 5 \pi + 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−5π+5atan⁡(43)]∪[5atan⁡(43),∞)\left(-\infty, - 5 \pi + 5 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}\right] \cup \left[5 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex10sin⁡(x5))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex10sin⁡(x5))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/5)*exp(x/10), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex10sin⁡(x5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex10sin⁡(x5)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex10sin⁡(x5)=−e−x10sin⁡(x5)e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = - e^{- \frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}
- No
ex10sin⁡(x5)=e−x10sin⁡(x5)e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} = e^{- \frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x/5)*exp(x/10)
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