Sr Examen

Otras calculadoras

exp(x)/3+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)
Trazado el gráfico de la función/ exp(x)/3+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)

Gráfico de la función y = exp(x)/3+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                             -x 
        x   /     /    ___\      /    ___\\  ---
       e    |     |x*\/ 3 |      |x*\/ 3 ||   2 
f(x) = -- + |- cos|-------| - sin|-------||*e   
       3    \     \   2   /      \   2   //
f(x)=(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3} 
f = (-sin((sqrt(3)*x)/2) - cos((sqrt(3)*x)/2))*exp((-x)/2) + exp(x)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3=0\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−11.7896958732048x_{1} = -11.7896958732048
x2=−19.0448933244594x_{2} = -19.0448933244594
x3=−40.8104856952699x_{3} = -40.8104856952699
x4=−26.3000907813962x_{4} = -26.3000907813962
x5=−33.555288238333x_{5} = -33.555288238333
x6=−4.53480087523636x_{6} = -4.53480087523636
x7=−29.9276895098646x_{7} = -29.9276895098646
x8=−22.6724920529277x_{8} = -22.6724920529277
x9=−55.3208806091436x_{9} = -55.3208806091436
x10=−8.1620958277501x_{10} = -8.1620958277501
x11=0.96267911368262x_{11} = 0.96267911368262
x12=−37.1828869668015x_{12} = -37.1828869668015
x13=0.96267911368286x_{13} = 0.96267911368286
x14=−15.4172945959662x_{14} = -15.4172945959662
x15=−51.6932818806752x_{15} = -51.6932818806752
x16=−62.5760780660805x_{16} = -62.5760780660805
x17=−44.4380844237383x_{17} = -44.4380844237383
x18=−48.0656831522068x_{18} = -48.0656831522068
x19=−0.82826739944952x_{19} = -0.82826739944952
x20=−58.9484793376121x_{20} = -58.9484793376121
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)/3 + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp((-x)/2).
(−cos⁡(032)−sin⁡(032))e(−1)02+e03\left(- \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}} + \frac{e^{0}}{3}
Resultado:
f(0)=−23f{\left(0 \right)} = - \frac{2}{3}
Punto:
(0, -2/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3sin⁡(3x2)2−3cos⁡(3x2)2)e(−1)x2−(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x22+ex3=0\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} - \frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−21.4632924767716x_{1} = -21.4632924767716
x2=−17.8356937483025x_{2} = -17.8356937483025
x3=−3.32343757288038x_{3} = -3.32343757288038
x4=−14.2080950199857x_{4} = -14.2080950199857
x5=−43.2288848475822x_{5} = -43.2288848475822
x6=−39.6012861191138x_{6} = -39.6012861191138
x7=−28.7184899337085x_{7} = -28.7184899337085
x8=−10.580496256512x_{8} = -10.580496256512
x9=−35.9736873906453x_{9} = -35.9736873906453
x10=0.0193110522933183x_{10} = 0.0193110522933183
x11=−6.95290560593932x_{11} = -6.95290560593932
x12=−57.7392797614559x_{12} = -57.7392797614559
x13=−46.8564835760506x_{13} = -46.8564835760506
x14=−61.3668784899244x_{14} = -61.3668784899244
x15=−50.4840823045191x_{15} = -50.4840823045191
x16=−54.1116810329875x_{16} = -54.1116810329875
x17=−32.3460886621769x_{17} = -32.3460886621769
x18=−25.09089120524x_{18} = -25.09089120524
Signos de extremos en los puntos:
                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-21.46329247677158, 1.59033735153012e-10 + 45781.9981061745*sin\10.7316462383858*\/ 3 / - 45781.9981061745*cos\10.7316462383858*\/ 3 /)

                                                               /                   ___\                       /                   ___\ 
(-17.83569374830249, 5.98322547700144e-9 + 7464.00098244208*sin\8.91784687415124*\/ 3 / - 7464.00098244208*cos\8.91784687415124*\/ 3 /)

                                                               /                   ___\                       /                   ___\ 
(-3.3234375728803816, 0.0120095890409457 + 5.26835824966244*sin\1.66171878644019*\/ 3 / - 5.26835824966244*cos\1.66171878644019*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-14.208095019985745, 2.25103101984882e-7 + 1216.88246417158*sin\7.10404750999287*\/ 3 / - 1216.88246417158*cos\7.10404750999287*\/ 3 /)

                                                                 /                   ___\                       /                   ___\ 
(-43.228884847582194, 5.60805929873529e-20 + 2437996479.00785*sin\21.6144424237911*\/ 3 / - 2437996479.00785*cos\21.6144424237911*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-39.60128611911376, 2.10988462544893e-18 + 397475183.855217*sin\19.8006430595569*\/ 3 / - 397475183.855217*cos\19.8006430595569*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-28.71848993370845, 1.12356198958987e-13 + 1722427.11392751*sin\14.3592449668542*\/ 3 / - 1722427.11392751*cos\14.3592449668542*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-10.580496256511967, 8.46891170982028e-6 + 198.392646123886*sin\5.29024812825598*\/ 3 / - 198.392646123886*cos\5.29024812825598*\/ 3 /)

                                                                 /                   ___\                       /                   ___\ 
(-35.973687390645324, 7.93788527469689e-17 + 64801784.2277737*sin\17.9868436953227*\/ 3 / - 64801784.2277737*cos\17.9868436953227*\/ 3 /)

                                                               /                      ___\                        /                      ___\ 
(0.01931105229331834, 0.339832905572114 - 0.990390938777908*cos\0.00965552614665917*\/ 3 / - 0.990390938777908*sin\0.00965552614665917*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-6.952905605939324, 0.000318617926813982 + 32.3447850188217*sin\3.47645280296966*\/ 3 / - 32.3447850188217*cos\3.47645280296966*\/ 3 /)

                                                               /                  ___\                       /                  ___\ 
(-57.73927976145593, 2.7991627867023e-26 + 3450843744616.53*sin\28.869639880728*\/ 3 / - 3450843744616.53*cos\28.869639880728*\/ 3 /)

                                                              /                   ___\                       /                   ___\ 
(-46.85648357605063, 1.490618430922e-21 + 14953957059.6683*sin\23.4282417880253*\/ 3 / - 14953957059.6683*cos\23.4282417880253*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-61.36687848992437, 7.44015606602161e-28 + 21166465834118.4*sin\30.6834392449622*\/ 3 / - 21166465834118.4*cos\30.6834392449622*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-50.48408230451906, 3.96205387326316e-23 + 91723197169.4258*sin\25.2420411522595*\/ 3 / - 91723197169.4258*cos\25.2420411522595*\/ 3 /)

                                                               /                   ___\                       /                   ___\ 
(-54.1116810329875, 1.05311128381325e-24 + 562603253801.773*sin\27.0558405164937*\/ 3 / - 562603253801.773*cos\27.0558405164937*\/ 3 /)

                                                                /                   ___\                       /                   ___\ 
(-32.34608866217688, 2.98642029399324e-15 + 10564863.9453992*sin\16.1730443310884*\/ 3 / - 10564863.9453992*cos\16.1730443310884*\/ 3 /)

                                                                /                 ___\                       /                 ___\ 
(-25.090891205240013, 4.2271061008736e-12 + 280813.380856135*sin\12.54544560262*\/ 3 / - 280813.380856135*cos\12.54544560262*\/ 3 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−21.4632924767716x_{1} = -21.4632924767716
x2=−14.2080950199857x_{2} = -14.2080950199857
x3=−43.2288848475822x_{3} = -43.2288848475822
x4=−28.7184899337085x_{4} = -28.7184899337085
x5=−35.9736873906453x_{5} = -35.9736873906453
x6=0.0193110522933183x_{6} = 0.0193110522933183
x7=−6.95290560593932x_{7} = -6.95290560593932
x8=−57.7392797614559x_{8} = -57.7392797614559
x9=−50.4840823045191x_{9} = -50.4840823045191
Puntos máximos de la función:
x9=−17.8356937483025x_{9} = -17.8356937483025
x9=−3.32343757288038x_{9} = -3.32343757288038
x9=−39.6012861191138x_{9} = -39.6012861191138
x9=−10.580496256512x_{9} = -10.580496256512
x9=−46.8564835760506x_{9} = -46.8564835760506
x9=−61.3668784899244x_{9} = -61.3668784899244
x9=−54.1116810329875x_{9} = -54.1116810329875
x9=−32.3460886621769x_{9} = -32.3460886621769
x9=−25.09089120524x_{9} = -25.09089120524
Decrece en los intervalos
[0.0193110522933183,∞)\left[0.0193110522933183, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−57.7392797614559]\left(-\infty, -57.7392797614559\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−33(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e−x2+3(sin⁡(3x2)+cos⁡(3x2))e−x2+2ex6=0\frac{- 3 \sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} + 3 \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} + 2 e^{x}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−52.9024814568314x_{1} = -52.9024814568314
x2=−16.626494172151x_{2} = -16.626494172151
x3=−60.1576789137682x_{3} = -60.1576789137682
x4=−31.1368890860207x_{4} = -31.1368890860207
x5=−63.7852776422367x_{5} = -63.7852776422367
x6=−9.37129692899614x_{6} = -9.37129692899614
x7=−20.2540929006154x_{7} = -20.2540929006154
x8=−27.5092903575523x_{8} = -27.5092903575523
x9=−34.7644878144892x_{9} = -34.7644878144892
x10=−23.8816916290839x_{10} = -23.8816916290839
x11=−38.3920865429576x_{11} = -38.3920865429576
x12=−12.9988954427521x_{12} = -12.9988954427521
x13=−49.2748827283629x_{13} = -49.2748827283629
x14=−56.5300801852998x_{14} = -56.5300801852998
x15=−2.12729445057079x_{15} = -2.12729445057079
x16=−45.6472839998945x_{16} = -45.6472839998945
x17=−42.019685271426x_{17} = -42.019685271426
x18=−5.74364864883212x_{18} = -5.74364864883212

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2.12729445057079,∞)\left[-2.12729445057079, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−60.1576789137682]\left(-\infty, -60.1576789137682\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)/3 + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp((-x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3}}{x}\right)
lim⁡x→∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3=(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2+e−x3\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{- x}}{3}
- No
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e(−1)x2+ex3=−(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−x3\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{x}}{3} = - \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - \frac{e^{- x}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(x)/3+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)
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