Gráfico de la función y = exp(1/z)

Ha introducido [src]

        1
        -
        z
f(z) = e

$$f{\left(z \right)} = e^{\frac{1}{z}}$$

f = exp(1/z)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$z_{1} = 0$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\frac{1}{z}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Z

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en exp(1/z).
$$e^{\frac{1}{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(2 + \frac{1}{z}\right) e^{\frac{1}{z}}}{z^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$z_{1} = 0$$

$$\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{z}\right) e^{\frac{1}{z}}}{z^{3}}\right) = 0$$
$$\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{z}\right) e^{\frac{1}{z}}}{z^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$z_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$

Asíntotas verticales

Hay:
$$z_{1} = 0$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
$$\lim_{z \to -\infty} e^{\frac{1}{z}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{z \to \infty} e^{\frac{1}{z}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1/z), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
$$e^{\frac{1}{z}} = e^{- \frac{1}{z}}$$
- No
$$e^{\frac{1}{z}} = - e^{- \frac{1}{z}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = exp(1/z)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución