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exp(1/z)
Trazado el gráfico de la función/ exp(1/z)

Gráfico de la función y = exp(1/z)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        1
        -
        z
f(z) = e
f(z)=e1zf{\left(z \right)} = e^{\frac{1}{z}} 
f = exp(1/z)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
z1=0z_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1z=0e^{\frac{1}{z}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Z
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en exp(1/z).
e10e^{\frac{1}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
−e1zz2=0- \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
(2+1z)e1zz3=0\frac{\left(2 + \frac{1}{z}\right) e^{\frac{1}{z}}}{z^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=−12z_{1} = - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
z1=0z_{1} = 0

lim⁡z→0−((2+1z)e1zz3)=0\lim_{z \to 0^-}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{z}\right) e^{\frac{1}{z}}}{z^{3}}\right) = 0
lim⁡z→0+((2+1z)e1zz3)=∞\lim_{z \to 0^+}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{z}\right) e^{\frac{1}{z}}}{z^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
z1=0z_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
z1=0z_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞e1z=1\lim_{z \to -\infty} e^{\frac{1}{z}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡z→∞e1z=1\lim_{z \to \infty} e^{\frac{1}{z}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1/z), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(e1zz)=0\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡z→∞(e1zz)=0\lim_{z \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
e1z=e−1ze^{\frac{1}{z}} = e^{- \frac{1}{z}}
- No
e1z=−e−1ze^{\frac{1}{z}} = - e^{- \frac{1}{z}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(1/z)
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