Sr Examen

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exp(x+3)/(x+3)
Trazado el gráfico de la función/ exp(x+3)/(x+3)

Gráfico de la función y = exp(x+3)/(x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x + 3
       e     
f(x) = ------
       x + 3
f(x)=ex+3x+3f{\left(x \right)} = \frac{e^{x + 3}}{x + 3} 
f = exp(x + 3)/(x + 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex+3x+3=0\frac{e^{x + 3}}{x + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+3x+3−ex+3(x+3)2=0\frac{e^{x + 3}}{x + 3} - \frac{e^{x + 3}}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, E)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−2x+3+2(x+3)2)ex+3x+3=0\frac{\left(1 - \frac{2}{x + 3} + \frac{2}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) e^{x + 3}}{x + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex+3x+3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x + 3}}{x + 3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex+3x+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x + 3}}{x + 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x + 3)/(x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex+3x(x+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x + 3}}{x \left(x + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex+3x(x+3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x + 3}}{x \left(x + 3\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex+3x+3=e3−x3−x\frac{e^{x + 3}}{x + 3} = \frac{e^{3 - x}}{3 - x}
- No
ex+3x+3=−e3−x3−x\frac{e^{x + 3}}{x + 3} = - \frac{e^{3 - x}}{3 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(x+3)/(x+3)
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