Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (exp(x)+3)/(x+3)

Gráfico de la función y = (exp(x)+3)/(x+3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    
       e  + 3
f(x) = ------
       x + 3
f(x)=ex+3x+3f{\left(x \right)} = \frac{e^{x} + 3}{x + 3} 
f = (exp(x) + 3)/(x + 3)
Gráfico de la función
0100020003000400050006000700080009000-100010000-3e3053e305
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex+3x+3=0\frac{e^{x} + 3}{x + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (exp(x) + 3)/(x + 3).
e0+33\frac{e^{0} + 3}{3}
Resultado:
f(0)=43f{\left(0 \right)} = \frac{4}{3}
Punto:
(0, 4/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exx+3−ex+3(x+3)2=0\frac{e^{x}}{x + 3} - \frac{e^{x} + 3}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+W(3e2)x_{1} = -2 + W\left(3 e^{2}\right)
Signos de extremos en los puntos:
                          /   2\ 
                    -2 + W\3*e / 
       /   2\  3 + e             
(-2 + W\3*e /, -----------------)
                       /   2\    
                  1 + W\3*e /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2+W(3e2)x_{1} = -2 + W\left(3 e^{2}\right)
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2+W(3e2),∞)\left[-2 + W\left(3 e^{2}\right), \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2+W(3e2)]\left(-\infty, -2 + W\left(3 e^{2}\right)\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
ex−2exx+3+2(ex+3)(x+3)2x+3=0\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x + 3} + \frac{2 \left(e^{x} + 3\right)}{\left(x + 3\right)^{2}}}{x + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−36808.2158151855x_{1} = -36808.2158151855
x2=−28332.187841268x_{2} = -28332.187841268
x3=−20703.7727389755x_{3} = -20703.7727389755
x4=−31722.5981081316x_{4} = -31722.5981081316
x5=−19856.1721532085x_{5} = -19856.1721532085
x6=−18160.9720042001x_{6} = -18160.9720042001
x7=−34265.4066755697x_{7} = -34265.4066755697
x8=−19008.5718930801x_{8} = -19008.5718930801
x9=−24941.779390143x_{9} = -24941.779390143
x10=−35960.6127125654x_{10} = -35960.6127125654
x11=−25789.3812935264x_{11} = -25789.3812935264
x12=−24094.177650919x_{12} = -24094.177650919
x13=−23246.5760938158x_{13} = -23246.5760938158
x14=−41046.2320305184x_{14} = -41046.2320305184
x15=−17313.3725411133x_{15} = -17313.3725411133
x16=−40198.6287036936x_{16} = -40198.6287036936
x17=−30027.392786181x_{17} = -30027.392786181
x18=−30874.9954039089x_{18} = -30874.9954039089
x19=−32570.2008920951x_{19} = -32570.2008920951
x20=−22398.9747395139x_{20} = -22398.9747395139
x21=−39351.0254160413x_{21} = -39351.0254160413
x22=−33417.8037497305x_{22} = -33417.8037497305
x23=−35113.0096646728x_{23} = -35113.0096646728
x24=−29179.7902624869x_{24} = -29179.7902624869
x25=−27484.5855320072x_{25} = -27484.5855320072
x26=−26636.9833453947x_{26} = -26636.9833453947
x27=−38503.422170149x_{27} = -38503.422170149
x28=−37655.818968837x_{28} = -37655.818968837
x29=−21551.3736119485x_{29} = -21551.3736119485
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3

lim⁡x→−3−(ex−2exx+3+2(ex+3)(x+3)2x+3)=−∞\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x + 3} + \frac{2 \left(e^{x} + 3\right)}{\left(x + 3\right)^{2}}}{x + 3}\right) = -\infty
lim⁡x→−3+(ex−2exx+3+2(ex+3)(x+3)2x+3)=∞\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x + 3} + \frac{2 \left(e^{x} + 3\right)}{\left(x + 3\right)^{2}}}{x + 3}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−3x_{1} = -3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex+3x+3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + 3}{x + 3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex+3x+3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + 3}{x + 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (exp(x) + 3)/(x + 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex+3x(x+3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} + 3}{x \left(x + 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(ex+3x(x+3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} + 3}{x \left(x + 3\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex+3x+3=3+e−x3−x\frac{e^{x} + 3}{x + 3} = \frac{3 + e^{- x}}{3 - x}
- No
ex+3x+3=−3+e−x3−x\frac{e^{x} + 3}{x + 3} = - \frac{3 + e^{- x}}{3 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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