Sr Examen

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exp(x)/(-1-x*exp(x))
Trazado el gráfico de la función/ exp(x)/(-1-x*exp(x))

Gráfico de la función y = exp(x)/(-1-x*exp(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x   
           e    
f(x) = ---------
               x
       -1 - x*e
f(x)=ex−xex−1f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1} 
f = exp(x)/(-x*exp(x) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex−xex−1=0\frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)/(-1 - x*exp(x)).
e0−1−0e0\frac{e^{0}}{-1 - 0 e^{0}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex−xex−1+(xex+ex)ex(−xex−1)2=0\frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1} + \frac{\left(x e^{x} + e^{x}\right) e^{x}}{\left(- x e^{x} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2(x+1)exxex+1−1+(x−2(x+1)2exxex+1+2)exxex+1)exxex+1=0\frac{\left(\frac{2 \left(x + 1\right) e^{x}}{x e^{x} + 1} - 1 + \frac{\left(x - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2} e^{x}}{x e^{x} + 1} + 2\right) e^{x}}{x e^{x} + 1}\right) e^{x}}{x e^{x} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=33122.2351429581x_{1} = 33122.2351429581
x2=−36.8719912319021x_{2} = -36.8719912319021
x3=40750.6632690734x_{3} = 40750.6632690734
x4=−116.872003083x_{4} = -116.872003083
x5=19560.6043923517x_{5} = 19560.6043923517
x6=−60.8720030830002x_{6} = -60.8720030830002
x7=−106.872003083x_{7} = -106.872003083
x8=−48.8720030828669x_{8} = -48.8720030828669
x9=−66.8720030830002x_{9} = -66.8720030830002
x10=−72.8720030830002x_{10} = -72.8720030830002
x11=−92.8720030830002x_{11} = -92.8720030830002
x12=31427.029551779x_{12} = 31427.029551779
x13=36512.6471277453x_{13} = 36512.6471277453
x14=−80.8720030830002x_{14} = -80.8720030830002
x15=−102.872003083x_{15} = -102.872003083
x16=−86.8720030830002x_{16} = -86.8720030830002
x17=−78.8720030830002x_{17} = -78.8720030830002
x18=28884.2217989658x_{18} = 28884.2217989658
x19=22951.007978446x_{19} = 22951.007978446
x20=−64.8720030830002x_{20} = -64.8720030830002
x21=35665.0440431628x_{21} = 35665.0440431628
x22=30579.4268759524x_{22} = 30579.4268759524
x23=42445.8700073105x_{23} = 42445.8700073105
x24=−40.8720028058391x_{24} = -40.8720028058391
x25=−94.8720030830002x_{25} = -94.8720030830002
x26=11932.2240708463x_{26} = 11932.2240708463
x27=16170.2064066253x_{27} = 16170.2064066253
x28=−108.872003083x_{28} = -108.872003083
x29=−68.8720030830002x_{29} = -68.8720030830002
x30=14475.0107433807x_{30} = 14475.0107433807
x31=−110.872003083x_{31} = -110.872003083
x32=−34.8719276380146x_{32} = -34.8719276380146
x33=−38.8720012570845x_{33} = -38.8720012570845
x34=39903.0599551918x_{34} = 39903.0599551918
x35=−118.872003083x_{35} = -118.872003083
x36=−50.8720030829808x_{36} = -50.8720030829808
x37=26341.415002707x_{37} = 26341.415002707
x38=−114.872003083x_{38} = -114.872003083
x39=20408.2048728529x_{39} = 20408.2048728529
x40=28036.6194144112x_{40} = 28036.6194144112
x41=−32.8715352046106x_{41} = -32.8715352046106
x42=−74.8720030830002x_{42} = -74.8720030830002
x43=13627.4141064976x_{43} = 13627.4141064976
x44=−62.8720030830002x_{44} = -62.8720030830002
x45=−88.8720030830002x_{45} = -88.8720030830002
x46=−84.8720030830002x_{46} = -84.8720030830002
x47=12779.8184773785x_{47} = 12779.8184773785
x48=−120.872003083x_{48} = -120.872003083
x49=−44.872003076823x_{49} = -44.872003076823
x50=−112.872003083x_{50} = -112.872003083
x51=17017.8051950062x_{51} = 17017.8051950062
x52=−100.872003083x_{52} = -100.872003083
x53=37360.2502645683x_{53} = 37360.2502645683
x54=−30.8692080757983x_{54} = -30.8692080757983
x55=38207.8534501551x_{55} = 38207.8534501551
x56=25493.8129993199x_{56} = 25493.8129993199
x57=29731.8242890716x_{57} = 29731.8242890716
x58=−46.8720030820897x_{58} = -46.8720030820897
x59=−82.8720030830002x_{59} = -82.8720030830002
x60=41598.2666205299x_{60} = 41598.2666205299
x61=−70.8720030830002x_{61} = -70.8720030830002
x62=15322.6082208076x_{62} = 15322.6082208076
x63=−52.8720030829974x_{63} = -52.8720030829974
x64=−54.8720030829998x_{64} = -54.8720030829998
x65=−98.8720030830002x_{65} = -98.8720030830002
x66=17865.4045002026x_{66} = 17865.4045002026
x67=−58.8720030830002x_{67} = -58.8720030830002
x68=24646.2111494747x_{68} = 24646.2111494747
x69=0.765591842440394x_{69} = 0.765591842440394
x70=32274.6323095441x_{70} = 32274.6323095441
x71=−42.8720030414237x_{71} = -42.8720030414237
x72=−56.8720030830001x_{72} = -56.8720030830001
x73=23798.6094695748x_{73} = 23798.6094695748
x74=21255.8056528181x_{74} = 21255.8056528181
x75=−28.856245022617x_{75} = -28.856245022617
x76=27189.0171452781x_{76} = 27189.0171452781
x77=−90.8720030830002x_{77} = -90.8720030830002
x78=34817.4410146354x_{78} = 34817.4410146354
x79=39055.4566813312x_{79} = 39055.4566813312
x80=33969.8380463588x_{80} = 33969.8380463588
x81=−96.8720030830002x_{81} = -96.8720030830002
x82=−104.872003083x_{82} = -104.872003083
x83=22103.4066978018x_{83} = 22103.4066978018
x84=−76.8720030830002x_{84} = -76.8720030830002
x85=18713.004252x_{85} = 18713.004252

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0.765591842440394]\left(-\infty, 0.765591842440394\right]
Convexa en los intervalos
[0.765591842440394,∞)\left[0.765591842440394, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−xex−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex−xex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)/(-1 - x*exp(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(−xex−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(- x e^{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exx(−xex−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(- x e^{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex−xex−1=e−xxe−x−1\frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1} = \frac{e^{- x}}{x e^{- x} - 1}
- No
ex−xex−1=−e−xxe−x−1\frac{e^{x}}{- x e^{x} - 1} = - \frac{e^{- x}}{x e^{- x} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(x)/(-1-x*exp(x))
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