Sr Examen

Otras calculadoras

exp(x)/(-1+2*exp(x)-2*x*exp(x))
Trazado el gráfico de la función/ exp(x)/(-1+2*exp(x)-2*x*exp(x))

Gráfico de la función y = exp(x)/(-1+2*exp(x)-2*x*exp(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x        
               e         
f(x) = ------------------
               x        x
       -1 + 2*e  - 2*x*e
f(x)=ex−2xex+(2ex−1)f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)} 
f = exp(x)/(-2*x*exp(x) + 2*exp(x) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.67834699001666x_{1} = -1.67834699001666
x2=0.768039047013466x_{2} = 0.768039047013466
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex−2xex+(2ex−1)=0\frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)/(-1 + 2*exp(x) - 2*x*exp(x)).
e0−0⋅2e0+(−1+2e0)\frac{e^{0}}{- 0 \cdot 2 e^{0} + \left(-1 + 2 e^{0}\right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xe2x(−2xex+(2ex−1))2+ex−2xex+(2ex−1)=0\frac{2 x e^{2 x}}{\left(- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)\right)^{2}} + \frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−log⁡(2)x_{1} = - \log{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
             1     
(-log(2), --------)
          2*log(2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−log⁡(2)x_{1} = - \log{\left(2 \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−log⁡(2),∞)\left[- \log{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−log⁡(2)]\left(-\infty, - \log{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(4xex2xex−2ex+1−1+2(−4x2ex2xex−2ex+1+x+1)ex2xex−2ex+1)ex2xex−2ex+1=0\frac{\left(\frac{4 x e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} - 1 + \frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} + x + 1\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−116.872003083x_{1} = -116.872003083
x2=−60.8720030830002x_{2} = -60.8720030830002
x3=−54.8720030829994x_{3} = -54.8720030829994
x4=−106.872003083x_{4} = -106.872003083
x5=32699.4337171627x_{5} = 32699.4337171627
x6=−58.8720030830002x_{6} = -58.8720030830002
x7=31851.830920828x_{7} = 31851.830920828
x8=−66.8720030830002x_{8} = -66.8720030830002
x9=24223.4102871667x_{9} = 24223.4102871667
x10=−72.8720030830002x_{10} = -72.8720030830002
x11=−92.8720030830002x_{11} = -92.8720030830002
x12=−50.87200308296x_{12} = -50.87200308296
x13=−80.8720030830002x_{13} = -80.8720030830002
x14=−102.872003083x_{14} = -102.872003083
x15=35242.2425216394x_{15} = 35242.2425216394
x16=−78.8720030830002x_{16} = -78.8720030830002
x17=14899.8093859902x_{17} = 14899.8093859902
x18=−86.8720030830002x_{18} = -86.8720030830002
x19=41175.4649402498x_{19} = 41175.4649402498
x20=−64.8720030830002x_{20} = -64.8720030830002
x21=18290.2043241563x_{21} = 18290.2043241563
x22=−94.8720030830002x_{22} = -94.8720030830002
x23=−30.8657525621927x_{23} = -30.8657525621927
x24=10661.8353908176x_{24} = 10661.8353908176
x25=−108.872003083x_{25} = -108.872003083
x26=33547.0365862417x_{26} = 33547.0365862417
x27=−68.8720030830002x_{27} = -68.8720030830002
x28=17442.6047877107x_{28} = 17442.6047877107
x29=36937.4486898515x_{29} = 36937.4486898515
x30=−110.872003083x_{30} = -110.872003083
x31=27613.8182647528x_{31} = 27613.8182647528
x32=37785.0518514713x_{32} = 37785.0518514713
x33=−46.8720030811048x_{33} = -46.8720030811048
x34=−118.872003083x_{34} = -118.872003083
x35=15747.4072323157x_{35} = 15747.4072323157
x36=−42.8720029957803x_{36} = -42.8720029957803
x37=−52.8720030829944x_{37} = -52.8720030829944
x38=31004.2282032034x_{38} = 31004.2282032034
x39=25071.0120542313x_{39} = 25071.0120542313
x40=−114.872003083x_{40} = -114.872003083
x41=−74.8720030830002x_{41} = -74.8720030830002
x42=−28.8356316703813x_{42} = -28.8356316703813
x43=38632.655060232x_{43} = 38632.655060232
x44=26766.2160574209x_{44} = 26766.2160574209
x45=−62.8720030830002x_{45} = -62.8720030830002
x46=11509.4274101566x_{46} = 11509.4274101566
x47=−88.8720030830002x_{47} = -88.8720030830002
x48=40327.8616072876x_{48} = 40327.8616072876
x49=−84.8720030830002x_{49} = -84.8720030830002
x50=−120.872003083x_{50} = -120.872003083
x51=−112.872003083x_{51} = -112.872003083
x52=−100.872003083x_{52} = -100.872003083
x53=−34.8718400710663x_{53} = -34.8718400710663
x54=9814.24548350247x_{54} = 9814.24548350247
x55=−32.8709777903892x_{55} = -32.8709777903892
x56=29309.0230313971x_{56} = 29309.0230313971
x57=36089.845578694x_{57} = 36089.845578694
x58=21680.6061441251x_{58} = 21680.6061441251
x59=−36.8719777401471x_{59} = -36.8719777401471
x60=−82.8720030830002x_{60} = -82.8720030830002
x61=30156.6255709251x_{61} = 30156.6255709251
x62=19137.8042768329x_{62} = 19137.8042768329
x63=39480.2583130978x_{63} = 39480.2583130978
x64=22528.2073103286x_{64} = 22528.2073103286
x65=−70.8720030830002x_{65} = -70.8720030830002
x66=−56.8720030830001x_{66} = -56.8720030830001
x67=19985.4045927882x_{67} = 19985.4045927882
x68=−98.8720030830002x_{68} = -98.8720030830002
x69=42023.0683096383x_{69} = 42023.0683096383
x70=25918.6139827621x_{70} = 25918.6139827621
x71=14052.2123103641x_{71} = 14052.2123103641
x72=−38.8719992091268x_{72} = -38.8719992091268
x73=20833.0052276867x_{73} = 20833.0052276867
x74=−48.8720030827235x_{74} = -48.8720030827235
x75=12357.0211054763x_{75} = 12357.0211054763
x76=13204.6161538256x_{76} = 13204.6161538256
x77=28461.4205929053x_{77} = 28461.4205929053
x78=34394.6395226874x_{78} = 34394.6395226874
x79=−90.8720030830002x_{79} = -90.8720030830002
x80=−44.8720030700955x_{80} = -44.8720030700955
x81=23375.8086991307x_{81} = 23375.8086991307
x82=−96.8720030830002x_{82} = -96.8720030830002
x83=16595.0057312651x_{83} = 16595.0057312651
x84=−40.8720024986279x_{84} = -40.8720024986279
x85=−104.872003083x_{85} = -104.872003083
x86=−76.8720030830002x_{86} = -76.8720030830002
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1.67834699001666x_{1} = -1.67834699001666
x2=0.768039047013466x_{2} = 0.768039047013466

lim⁡x→−1.67834699001666−((4xex2xex−2ex+1−1+2(−4x2ex2xex−2ex+1+x+1)ex2xex−2ex+1)ex2xex−2ex+1)=−∞\lim_{x \to -1.67834699001666^-}\left(\frac{\left(\frac{4 x e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} - 1 + \frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} + x + 1\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) = -\infty
lim⁡x→−1.67834699001666+((4xex2xex−2ex+1−1+2(−4x2ex2xex−2ex+1+x+1)ex2xex−2ex+1)ex2xex−2ex+1)=∞\lim_{x \to -1.67834699001666^+}\left(\frac{\left(\frac{4 x e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} - 1 + \frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} + x + 1\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1.67834699001666x_{1} = -1.67834699001666
- es el punto de flexión
lim⁡x→0.768039047013466−((4xex2xex−2ex+1−1+2(−4x2ex2xex−2ex+1+x+1)ex2xex−2ex+1)ex2xex−2ex+1)=∞\lim_{x \to 0.768039047013466^-}\left(\frac{\left(\frac{4 x e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} - 1 + \frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} + x + 1\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) = \infty
lim⁡x→0.768039047013466+((4xex2xex−2ex+1−1+2(−4x2ex2xex−2ex+1+x+1)ex2xex−2ex+1)ex2xex−2ex+1)=−∞\lim_{x \to 0.768039047013466^+}\left(\frac{\left(\frac{4 x e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} - 1 + \frac{2 \left(- \frac{4 x^{2} e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1} + x + 1\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) e^{x}}{2 x e^{x} - 2 e^{x} + 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0.768039047013466x_{2} = 0.768039047013466
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.67834699001666x_{1} = -1.67834699001666
x2=0.768039047013466x_{2} = 0.768039047013466
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex−2xex+(2ex−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex−2xex+(2ex−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)/(-1 + 2*exp(x) - 2*x*exp(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(−2xex+(2ex−1)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exx(−2xex+(2ex−1)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex−2xex+(2ex−1)=e−x2xe−x−1+2e−x\frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)} = \frac{e^{- x}}{2 x e^{- x} - 1 + 2 e^{- x}}
- No
ex−2xex+(2ex−1)=−e−x2xe−x−1+2e−x\frac{e^{x}}{- 2 x e^{x} + \left(2 e^{x} - 1\right)} = - \frac{e^{- x}}{2 x e^{- x} - 1 + 2 e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(x)/(-1+2*exp(x)-2*x*exp(x))
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