Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$9 \left(e^{- 3 x} \log{\left(e^{3 x} + 1 \right)} + \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} - \frac{1}{e^{3 x} + 1} - \frac{e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}} - \frac{e^{3 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 48$$
$$x_{2} = 57.5113657424141$$
$$x_{3} = -17.7502891399629$$
$$x_{4} = 72.25$$
$$x_{5} = -15.8183172109011$$
$$x_{6} = 58.25$$
$$x_{7} = 13.4511786885543$$
$$x_{8} = 86.25$$
$$x_{9} = 28.25$$
$$x_{10} = 22.8460770805771$$
$$x_{11} = 4229156.2525217$$
$$x_{12} = 78.25$$
$$x_{13} = 92$$
$$x_{14} = 34.2499999999916$$
$$x_{15} = -10.3901140485975$$
$$x_{16} = 95.1691042693501$$
$$x_{17} = 1.67977761058721 \cdot 10^{16}$$
$$x_{18} = 44.25$$
$$x_{19} = 22.1727567076697$$
$$x_{20} = 19345092.0907377$$
$$x_{21} = 15.3971710681563$$
$$x_{22} = 40$$
$$x_{23} = 100.25$$
$$x_{24} = 36.4738137836006$$
$$x_{25} = 42.4738137836006$$
$$x_{26} = 70.4738137836006$$
$$x_{27} = 68.25$$
$$x_{28} = 88$$
$$x_{29} = 30.7499999999999$$
$$x_{30} = 38.125$$
$$x_{31} = -10.4654626381725$$
$$x_{32} = 80.25$$
$$x_{33} = -11.3156701690326$$
$$x_{34} = 84.25$$
$$x_{35} = 17.3612636166193$$
$$x_{36} = 62$$
$$x_{37} = -19.4647540679436$$
$$x_{38} = 11.5431350122171$$
$$x_{39} = 64.125$$
$$x_{40} = 54.25$$
$$x_{41} = 74$$
$$x_{42} = 51.1691042693501$$
$$x_{43} = 66$$
$$x_{44} = 82.9376367203209$$
$$x_{45} = 96.4738137836006$$
$$x_{46} = -10.5219280849757$$
$$x_{47} = 98.1875$$
$$x_{48} = 19.3354955388091$$
$$x_{49} = 21.3236130780069$$
$$x_{50} = -10.2734264830522$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[72.25, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 21.3236130780069\right]$$