Sr Examen

Gráfico de la función y = exp(4-x-3x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                   2
        4 - x - 3*x 
f(x) = e            
$$f{\left(x \right)} = e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)}$$
f = exp(-3*x^2 + 4 - x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(4 - x - 3*x^2).
$$e^{- 3 \cdot 0^{2} + \left(4 - 0\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = e^{4}$$
Punto:
(0, exp(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- 6 x - 1\right) e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
        49 
        -- 
        12 
(-1/6, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{6}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{6}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\left(6 x + 1\right)^{2} - 6\right) e^{- 3 x^{2} - x + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6}\right] \cup \left[- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6}, - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(4 - x - 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = e^{- 3 x^{2} + x + 4}$$
- No
$$e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = - e^{- 3 x^{2} + x + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(4-x-3x^2)