Sr Examen

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exp(-9*x)+exp(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ exp(-9*x)+exp(2*x)

Gráfico de la función y = exp(-9*x)+exp(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -9*x    2*x
f(x) = e     + e
f(x)=e2x+e−9xf{\left(x \right)} = e^{2 x} + e^{- 9 x} 
f = exp(2*x) + exp(-9*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001e39
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e2x+e−9x=0e^{2 x} + e^{- 9 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-9*x) + exp(2*x).
e−0+e0⋅2e^{- 0} + e^{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2e2x−9e−9x=02 e^{2 x} - 9 e^{- 9 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(21011⋅32112)x_{1} = \log{\left(\frac{2^{\frac{10}{11}} \cdot 3^{\frac{2}{11}}}{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
    / 10      \                 
    | --      |                 
    | 11  2/11|      9/11  4/11 
    |2  *3    |  11*2    *3     
(log|---------|, --------------)
    \    2    /        18


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=log⁡(21011⋅32112)x_{1} = \log{\left(\frac{2^{\frac{10}{11}} \cdot 3^{\frac{2}{11}}}{2} \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[log⁡(21011⋅32112),∞)\left[\log{\left(\frac{2^{\frac{10}{11}} \cdot 3^{\frac{2}{11}}}{2} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,log⁡(21011⋅32112)]\left(-\infty, \log{\left(\frac{2^{\frac{10}{11}} \cdot 3^{\frac{2}{11}}}{2} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4e2x+81e−9x=04 e^{2 x} + 81 e^{- 9 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e2x+e−9x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{2 x} + e^{- 9 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e2x+e−9x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} + e^{- 9 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-9*x) + exp(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e2x+e−9xx)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x} + e^{- 9 x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(e2x+e−9xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x} + e^{- 9 x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e2x+e−9x=e9x+e−2xe^{2 x} + e^{- 9 x} = e^{9 x} + e^{- 2 x}
- No
e2x+e−9x=−e9x−e−2xe^{2 x} + e^{- 9 x} = - e^{9 x} - e^{- 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-9*x)+exp(2*x)
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