Sr Examen

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exp(-2/x)
Trazado el gráfico de la función/ exp(-2/x)

Gráfico de la función y = exp(-2/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -2 
        ---
         x 
f(x) = e
f(x)=e−2xf{\left(x \right)} = e^{- \frac{2}{x}} 
f = exp(-2/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200000000000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−2x=0e^{- \frac{2}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-2/x).
e−20e^{- \frac{2}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2e−2xx2=0\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−1+1x)e−2xx3=0\frac{4 \left(-1 + \frac{1}{x}\right) e^{- \frac{2}{x}}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(4(−1+1x)e−2xx3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \left(-1 + \frac{1}{x}\right) e^{- \frac{2}{x}}}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(4(−1+1x)e−2xx3)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \left(-1 + \frac{1}{x}\right) e^{- \frac{2}{x}}}{x^{3}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−2x=1\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{2}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞e−2x=1\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{2}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-2/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e−2xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \frac{2}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−2x=e2xe^{- \frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}}
- No
e−2x=−e2xe^{- \frac{2}{x}} = - e^{\frac{2}{x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-2/x)
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