Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp((1-x)/(1+x))

Gráfico de la función y = exp((1-x)/(1+x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        1 - x
        -----
        1 + x
f(x) = e
f(x)=e1−xx+1f{\left(x \right)} = e^{\frac{1 - x}{x + 1}} 
f = exp((1 - x)/(x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000000000000000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1−xx+1=0e^{\frac{1 - x}{x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp((1 - x)/(1 + x)).
e1−01e^{\frac{1 - 0}{1}}
Resultado:
f(0)=ef{\left(0 \right)} = e
Punto:
(0, E)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−1−x(x+1)2−1x+1)e1−xx+1=0\left(- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}\right) e^{\frac{1 - x}{x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−1x+1−3)(x−1x+1−1)e−x−1x+1(x+1)2=0\frac{\left(\frac{x - 1}{x + 1} - 3\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) e^{- \frac{x - 1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−((x−1x+1−3)(x−1x+1−1)e−x−1x+1(x+1)2)=0\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(\frac{x - 1}{x + 1} - 3\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) e^{- \frac{x - 1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→−1+((x−1x+1−3)(x−1x+1−1)e−x−1x+1(x+1)2)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(\frac{x - 1}{x + 1} - 3\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) e^{- \frac{x - 1}{x + 1}}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e1−xx+1=e−1\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1 - x}{x + 1}} = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−1y = e^{-1}
lim⁡x→∞e1−xx+1=e−1\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1 - x}{x + 1}} = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−1y = e^{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp((1 - x)/(1 + x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e1−xx+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1 - x}{x + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e1−xx+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1 - x}{x + 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e1−xx+1=ex+11−xe^{\frac{1 - x}{x + 1}} = e^{\frac{x + 1}{1 - x}}
- No
e1−xx+1=−ex+11−xe^{\frac{1 - x}{x + 1}} = - e^{\frac{x + 1}{1 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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