Sr Examen

Gráfico de la función y = exp(x)*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        x  
f(x) = e *x
f(x)=xexf{\left(x \right)} = x e^{x}
f = x*exp(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex=0x e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=41.6261544568938x_{1} = -41.6261544568938
x2=37.7592416454249x_{2} = -37.7592416454249
x3=83.1702113647074x_{3} = -83.1702113647074
x4=59.3262172000187x_{4} = -59.3262172000187
x5=73.2198969347223x_{5} = -73.2198969347223
x6=99.1148331129772x_{6} = -99.1148331129772
x7=109.089608132217x_{7} = -109.089608132217
x8=105.099039845199x_{8} = -105.099039845199
x9=35.8463765939876x_{9} = -35.8463765939876
x10=61.3071694941258x_{10} = -61.3071694941258
x11=103.10407015753x_{11} = -103.10407015753
x12=77.1981473783759x_{12} = -77.1981473783759
x13=0x_{13} = 0
x14=85.1619388762717x_{14} = -85.1619388762717
x15=71.2319064024203x_{15} = -71.2319064024203
x16=45.5287883412543x_{16} = -45.5287883412543
x17=33.9540517145623x_{17} = -33.9540517145623
x18=49.4541901054407x_{18} = -49.4541901054407
x19=107.094223645316x_{19} = -107.094223645316
x20=117.072920781941x_{20} = -117.072920781941
x21=79.1882678183563x_{21} = -79.1882678183563
x22=47.4891864944529x_{22} = -47.4891864944529
x23=81.1789726997072x_{23} = -81.1789726997072
x24=69.2447823410302x_{24} = -69.2447823410302
x25=39.6870583075465x_{25} = -39.6870583075465
x26=65.2735421114241x_{26} = -65.2735421114241
x27=55.369883839131x_{27} = -55.369883839131
x28=57.3470343910748x_{28} = -57.3470343910748
x29=95.1266472537626x_{29} = -95.1266472537626
x30=119.06914228288x_{30} = -119.06914228288
x31=93.1329980618501x_{31} = -93.1329980618501
x32=101.109329237227x_{32} = -101.109329237227
x33=91.1396752246407x_{33} = -91.1396752246407
x34=89.146704685936x_{34} = -89.146704685936
x35=87.1541152286569x_{35} = -87.1541152286569
x36=51.4230249783974x_{36} = -51.4230249783974
x37=63.2896724119287x_{37} = -63.2896724119287
x38=113.080930865701x_{38} = -113.080930865701
x39=75.2086687051389x_{39} = -75.2086687051389
x40=67.2586229734047x_{40} = -67.2586229734047
x41=121.065503606275x_{41} = -121.065503606275
x42=32.0913241206348x_{42} = -32.0913241206348
x43=115.076847342498x_{43} = -115.076847342498
x44=53.3950840173982x_{44} = -53.3950840173982
x45=97.1205993527235x_{45} = -97.1205993527235
x46=43.5740005056864x_{46} = -43.5740005056864
x47=111.085180982879x_{47} = -111.085180982879
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)*x.
0e00 e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xex+ex=0x e^{x} + e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
(-1, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)ex=0\left(x + 2\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(xex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(xex)=\lim_{x \to \infty}\left(x e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limxex=0\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limxex=\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex=xexx e^{x} = - x e^{- x}
- No
xex=xexx e^{x} = x e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(x)*x