Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(x)*(x^2-x)

Gráfico de la función y = exp(x)*(x^2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x / 2    \
f(x) = e *\x  - x/
f(x)=(x2−x)exf{\left(x \right)} = \left(x^{2} - x\right) e^{x} 
f = (x^2 - x)*exp(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10104000000-2000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−x)ex=0\left(x^{2} - x\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−111.300121308339x_{1} = -111.300121308339
x2=−95.3837003021592x_{2} = -95.3837003021592
x3=−71.5961008938983x_{3} = -71.5961008938983
x4=−67.6500464899076x_{4} = -67.6500464899076
x5=0x_{5} = 0
x6=−85.4548825357727x_{6} = -85.4548825357727
x7=−113.291558872075x_{7} = -113.291558872075
x8=−109.309041253055x_{8} = -109.309041253055
x9=−75.5491881156761x_{9} = -75.5491881156761
x10=−59.7865542399166x_{10} = -59.7865542399166
x11=−42.3914836119009x_{11} = -42.3914836119009
x12=−79.5080107464477x_{12} = -79.5080107464477
x13=−48.1155320563989x_{13} = -48.1155320563989
x14=−83.4715733483481x_{14} = -83.4715733483481
x15=−61.7480858408277x_{15} = -61.7480858408277
x16=−69.6220986676911x_{16} = -69.6220986676911
x17=−36.8332858955167x_{17} = -36.8332858955167
x18=−35.0481976660927x_{18} = -35.0481976660927
x19=−55.8747373925463x_{19} = -55.8747373925463
x20=−63.7127493082472x_{20} = -63.7127493082472
x21=−50.0449269518681x_{21} = -50.0449269518681
x22=−99.3598809506193x_{22} = -99.3598809506193
x23=−101.348785977816x_{23} = -101.348785977816
x24=−38.6588105659299x_{24} = -38.6588105659299
x25=−46.1953873041686x_{25} = -46.1953873041686
x26=−93.3965067038405x_{26} = -93.3965067038405
x27=−105.328047350538x_{27} = -105.328047350538
x28=−87.4390990971913x_{28} = -87.4390990971913
x29=−121.26048557894x_{29} = -121.26048557894
x30=1.00000000000032x_{30} = 1.00000000000032
x31=−73.5718547803295x_{31} = -73.5718547803295
x32=−107.31834162524x_{32} = -107.31834162524
x33=−119.267813516739x_{33} = -119.267813516739
x34=−81.4892524562269x_{34} = -81.4892524562269
x35=−103.338185586309x_{35} = -103.338185586309
x36=−40.5139335670481x_{36} = -40.5139335670481
x37=−115.283332833526x_{37} = -115.283332833526
x38=−97.3715060453445x_{38} = -97.3715060453445
x39=−91.4099726881485x_{39} = -91.4099726881485
x40=−44.2864913755559x_{40} = -44.2864913755559
x41=−65.6801741392534x_{41} = -65.6801741392534
x42=−117.275423715019x_{42} = -117.275423715019
x43=1x_{43} = 1
x44=−89.4241507425458x_{44} = -89.4241507425458
x45=−53.9256206828219x_{45} = -53.9256206828219
x46=−77.5279506631343x_{46} = -77.5279506631343
x47=−51.9820277550494x_{47} = -51.9820277550494
x48=−57.8285952189519x_{48} = -57.8285952189519
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)*(x^2 - x).
(02−0)e0\left(0^{2} - 0\right) e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x−1)ex+(x2−x)ex=0\left(2 x - 1\right) e^{x} + \left(x^{2} - x\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12+52x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=−52−12x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                                                    ___ 
              /                 2        \    1   \/ 5  
         ___  |    /        ___\      ___|  - - + ----- 
   1   \/ 5   |1   |  1   \/ 5 |    \/ 5 |    2     2   
(- - + -----, |- + |- - + -----|  - -----|*e           )
   2     2    \2   \  2     2  /      2  /              

                                                    ___ 
              /                 2        \    1   \/ 5  
         ___  |    /        ___\      ___|  - - - ----- 
   1   \/ 5   |1   |  1   \/ 5 |    \/ 5 |    2     2   
(- - - -----, |- + |- - - -----|  + -----|*e           )
   2     2    \2   \  2     2  /      2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12+52x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−52−12x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−52−12]∪[−12+52,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−52−12,−12+52]\left[- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x(x−1)+4x)ex=0\left(x \left(x - 1\right) + 4 x\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3]∪[0,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−3,0]\left[-3, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−x)ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - x\right) e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x2−x)ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - x\right) e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)*(x^2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−x)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−x)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−x)ex=(x2+x)e−x\left(x^{2} - x\right) e^{x} = \left(x^{2} + x\right) e^{- x}
- No
(x2−x)ex=−(x2+x)e−x\left(x^{2} - x\right) e^{x} = - \left(x^{2} + x\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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