Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(4-x-3*x^2)

Gráfico de la función y = exp(4-x-3*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2
        4 - x - 3*x 
f(x) = e
f(x)=e−3x2+(4−x)f{\left(x \right)} = e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} 
f = exp(-3*x^2 + 4 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−3x2+(4−x)=0e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(4 - x - 3*x^2).
e−3⋅02+(4−0)e^{- 3 \cdot 0^{2} + \left(4 - 0\right)}
Resultado:
f(0)=e4f{\left(0 \right)} = e^{4}
Punto:
(0, exp(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−6x−1)e−3x2+(4−x)=0\left(- 6 x - 1\right) e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−16x_{1} = - \frac{1}{6}
Signos de extremos en los puntos:
        49 
        -- 
        12 
(-1/6, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−16x_{1} = - \frac{1}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−16]\left(-\infty, - \frac{1}{6}\right]
Crece en los intervalos
[−16,∞)\left[- \frac{1}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((6x+1)2−6)e−3x2−x+4=0\left(\left(6 x + 1\right)^{2} - 6\right) e^{- 3 x^{2} - x + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−16+66x_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6}
x2=−66−16x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−66−16]∪[−16+66,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6}\right] \cup \left[- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−66−16,−16+66]\left[- \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{6}, - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{6}}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−3x2+(4−x)=0\lim_{x \to -\infty} e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞e−3x2+(4−x)=0\lim_{x \to \infty} e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(4 - x - 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−3x2+(4−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e−3x2+(4−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−3x2+(4−x)=e−3x2+x+4e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = e^{- 3 x^{2} + x + 4}
- No
e−3x2+(4−x)=−e−3x2+x+4e^{- 3 x^{2} + \left(4 - x\right)} = - e^{- 3 x^{2} + x + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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