Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(-(x^2)/2)

Gráfico de la función y = exp(-(x^2)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2 
        -x  
        ----
         2  
f(x) = e
f(x)=e(−1)x22f{\left(x \right)} = e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} 
f = exp((-x^2)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e(−1)x22=0e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp((-x^2)/2).
e(−1)022e^{\frac{\left(-1\right) 0^{2}}{2}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xe(−1)x22=0- x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x2−1)e−x22=0\left(x^{2} - 1\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e(−1)x22=0\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞e(−1)x22=0\lim_{x \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp((-x^2)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e(−1)x22x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e(−1)x22x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e(−1)x22=e(−1)x22e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}
- Sí
e(−1)x22=−e(−1)x22e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = - e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}
- No
es decir, función
es
par
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