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-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)

Gráfico de la función y = -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                                                x
               /     /    ___\      /    ___\\  -
          -x   |     |x*\/ 3 |      |x*\/ 3 ||  2
f(x) = - e   + |- cos|-------| - sin|-------||*e 
               \     \   2   /      \   2   //   
$$f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}$$
f = (-sin((sqrt(3)*x)/2) - cos((sqrt(3)*x)/2))*exp(x/2) - exp(-x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 17.2310939602299$$
$$x_{2} = 6.34823800977288$$
$$x_{3} = 49.879482516441$$
$$x_{4} = 42.6242850595041$$
$$x_{5} = 31.7414888740988$$
$$x_{6} = 60.7622787018463$$
$$x_{7} = 20.8586926886935$$
$$x_{8} = 53.5070812449094$$
$$x_{9} = 35.3690876025672$$
$$x_{10} = 38.9966863310357$$
$$x_{11} = 28.1138901456304$$
$$x_{12} = 13.6034952306344$$
$$x_{13} = 2.73421304368754$$
$$x_{14} = 57.1346799733779$$
$$x_{15} = 24.4862914171619$$
$$x_{16} = 9.97589676225196$$
$$x_{17} = 46.2518837879726$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -exp(-x) + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp(x/2).
$$- e^{- 0} + \left(- \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{0}{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} - e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 40.2058859071918$$
$$x_{2} = 3.92764269925855$$
$$x_{3} = 18.4402935363804$$
$$x_{4} = 58.343879549534$$
$$x_{5} = 32.950688450255$$
$$x_{6} = 11.1850960372245$$
$$x_{7} = 7.55750709366691$$
$$x_{8} = 0.625853046546736$$
$$x_{9} = 25.6954909933181$$
$$x_{10} = 22.0678922648497$$
$$x_{11} = 54.7162808210656$$
$$x_{12} = 43.8334846356603$$
$$x_{13} = 29.3230897217865$$
$$x_{14} = 0.625853046546817$$
$$x_{15} = 14.8126948080957$$
$$x_{16} = 61.9714782780024$$
$$x_{17} = 51.0886820925971$$
$$x_{18} = 47.4610833641287$$
$$x_{19} = 36.5782871787234$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[58.343879549534, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.625853046546736\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp(-x) + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} - e^{x}$$
- No
$$\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} = - \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} + e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)