Sr Examen

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-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)

Gráfico de la función y = -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                                x
               /     /    ___\      /    ___\\  -
          -x   |     |x*\/ 3 |      |x*\/ 3 ||  2
f(x) = - e   + |- cos|-------| - sin|-------||*e 
               \     \   2   /      \   2   //
f(x)=(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−xf{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} 
f = (-sin((sqrt(3)*x)/2) - cos((sqrt(3)*x)/2))*exp(x/2) - exp(-x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-4000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−x=0\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=17.2310939602299x_{1} = 17.2310939602299
x2=6.34823800977288x_{2} = 6.34823800977288
x3=49.879482516441x_{3} = 49.879482516441
x4=42.6242850595041x_{4} = 42.6242850595041
x5=31.7414888740988x_{5} = 31.7414888740988
x6=60.7622787018463x_{6} = 60.7622787018463
x7=20.8586926886935x_{7} = 20.8586926886935
x8=53.5070812449094x_{8} = 53.5070812449094
x9=35.3690876025672x_{9} = 35.3690876025672
x10=38.9966863310357x_{10} = 38.9966863310357
x11=28.1138901456304x_{11} = 28.1138901456304
x12=13.6034952306344x_{12} = 13.6034952306344
x13=2.73421304368754x_{13} = 2.73421304368754
x14=57.1346799733779x_{14} = 57.1346799733779
x15=24.4862914171619x_{15} = 24.4862914171619
x16=9.97589676225196x_{16} = 9.97589676225196
x17=46.2518837879726x_{17} = 46.2518837879726
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -exp(-x) + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp(x/2).
−e−0+(−cos⁡(032)−sin⁡(032))e02- e^{- 0} + \left(- \cos{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)} - \sin{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{2} \right)}\right) e^{\frac{0}{2}}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex22+(sin⁡(3x2)+cos⁡(3x2))ex22−e−x=0\frac{\sqrt{3} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}}{2} - e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=40.2058859071918x_{1} = 40.2058859071918
x2=3.92764269925855x_{2} = 3.92764269925855
x3=18.4402935363804x_{3} = 18.4402935363804
x4=58.343879549534x_{4} = 58.343879549534
x5=32.950688450255x_{5} = 32.950688450255
x6=11.1850960372245x_{6} = 11.1850960372245
x7=7.55750709366691x_{7} = 7.55750709366691
x8=0.625853046546736x_{8} = 0.625853046546736
x9=25.6954909933181x_{9} = 25.6954909933181
x10=22.0678922648497x_{10} = 22.0678922648497
x11=54.7162808210656x_{11} = 54.7162808210656
x12=43.8334846356603x_{12} = 43.8334846356603
x13=29.3230897217865x_{13} = 29.3230897217865
x14=0.625853046546817x_{14} = 0.625853046546817
x15=14.8126948080957x_{15} = 14.8126948080957
x16=61.9714782780024x_{16} = 61.9714782780024
x17=51.0886820925971x_{17} = 51.0886820925971
x18=47.4610833641287x_{18} = 47.4610833641287
x19=36.5782871787234x_{19} = 36.5782871787234

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[58.343879549534,∞)\left[58.343879549534, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.625853046546736]\left(-\infty, 0.625853046546736\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−x)y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp(-x) + (-cos((x*sqrt(3))/2) - sin((x*sqrt(3))/2))*exp(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−xx)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−x=(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e−x2−ex\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} - e^{x}
- No
(−sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))ex2−e−x=−(sin⁡(3x2)−cos⁡(3x2))e−x2+ex\left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{x}{2}} - e^{- x} = - \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{3} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{x}{2}} + e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
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