Sr Examen

Gráfico de la función y = sin(x)/(2+cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         sin(x)  
f(x) = ----------
       2 + cos(x)
f(x)=sin(x)cos(x)+2f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}
f = sin(x)/(cos(x) + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin(x)cos(x)+2=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=62.8318530717959x_{2} = -62.8318530717959
x3=97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=87.9645943005142x_{4} = 87.9645943005142
x5=56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=31.4159265358979x_{6} = 31.4159265358979
x7=69.1150383789755x_{7} = 69.1150383789755
x8=37.6991118430775x_{8} = -37.6991118430775
x9=81.6814089933346x_{9} = -81.6814089933346
x10=84.8230016469244x_{10} = -84.8230016469244
x11=21.9911485751286x_{11} = -21.9911485751286
x12=15.707963267949x_{12} = -15.707963267949
x13=12.5663706143592x_{13} = -12.5663706143592
x14=12.5663706143592x_{14} = 12.5663706143592
x15=87.9645943005142x_{15} = -87.9645943005142
x16=53.4070751110265x_{16} = 53.4070751110265
x17=100.530964914873x_{17} = -100.530964914873
x18=3.14159265358979x_{18} = -3.14159265358979
x19=1388.58395288669x_{19} = -1388.58395288669
x20=34.5575191894877x_{20} = 34.5575191894877
x21=94.2477796076938x_{21} = -94.2477796076938
x22=6.28318530717959x_{22} = 6.28318530717959
x23=69.1150383789755x_{23} = -69.1150383789755
x24=97.3893722612836x_{24} = 97.3893722612836
x25=65.9734457253857x_{25} = 65.9734457253857
x26=0x_{26} = 0
x27=50.2654824574367x_{27} = -50.2654824574367
x28=15.707963267949x_{28} = 15.707963267949
x29=25.1327412287183x_{29} = -25.1327412287183
x30=18.8495559215388x_{30} = -18.8495559215388
x31=40.8407044966673x_{31} = 40.8407044966673
x32=18.8495559215388x_{32} = 18.8495559215388
x33=53.4070751110265x_{33} = -53.4070751110265
x34=37.6991118430775x_{34} = 37.6991118430775
x35=43.9822971502571x_{35} = -43.9822971502571
x36=78.5398163397448x_{36} = -78.5398163397448
x37=6.28318530717959x_{37} = -6.28318530717959
x38=483.805268652828x_{38} = -483.805268652828
x39=43.9822971502571x_{39} = 43.9822971502571
x40=56.5486677646163x_{40} = 56.5486677646163
x41=65.9734457253857x_{41} = -65.9734457253857
x42=25.1327412287183x_{42} = 25.1327412287183
x43=78.5398163397448x_{43} = 78.5398163397448
x44=28.2743338823081x_{44} = -28.2743338823081
x45=75.398223686155x_{45} = 75.398223686155
x46=59.6902604182061x_{46} = 59.6902604182061
x47=34.5575191894877x_{47} = -34.5575191894877
x48=81.6814089933346x_{48} = 81.6814089933346
x49=47.1238898038469x_{49} = -47.1238898038469
x50=100.530964914873x_{50} = 100.530964914873
x51=9.42477796076938x_{51} = -9.42477796076938
x52=75.398223686155x_{52} = -75.398223686155
x53=72.2566310325652x_{53} = -72.2566310325652
x54=31.4159265358979x_{54} = -31.4159265358979
x55=28.2743338823081x_{55} = 28.2743338823081
x56=91.106186954104x_{56} = -91.106186954104
x57=21.9911485751286x_{57} = 21.9911485751286
x58=62.8318530717959x_{58} = 62.8318530717959
x59=9.42477796076938x_{59} = 9.42477796076938
x60=50.2654824574367x_{60} = 50.2654824574367
x61=94.2477796076938x_{61} = 94.2477796076938
x62=72.2566310325652x_{62} = 72.2566310325652
x63=84.8230016469244x_{63} = 84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/(2 + cos(x)).
sin(0)cos(0)+2\frac{\sin{\left(0 \right)}}{\cos{\left(0 \right)} + 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos(x)cos(x)+2+sin2(x)(cos(x)+2)2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
           ___  
 -2*pi  -\/ 3   
(-----, -------)
   3       3    

         ___ 
 2*pi  \/ 3  
(----, -----)
  3      3   


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[2π3,2π3]\left[- \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(,2π3][2π3,)\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+cos(x)+2sin2(x)cos(x)+2cos(x)+2+2cos(x)cos(x)+2)sin(x)cos(x)+2=0\frac{\left(-1 + \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}}{\cos{\left(x \right)} + 2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(sin(x)cos(x)+2)=1,1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limx(sin(x)cos(x)+2)=1,1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/(2 + cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(sin(x)x(cos(x)+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(sin(x)x(cos(x)+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin(x)cos(x)+2=sin(x)cos(x)+2\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}
- No
sin(x)cos(x)+2=sin(x)cos(x)+2\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)/(2+cos(x))