Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (sin(x/2)+cos(x/2)+0.2)^2

Gráfico de la función y = (sin(x/2)+cos(x/2)+0.2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                            2
       /   /x\      /x\   1\ 
f(x) = |sin|-| + cos|-| + -| 
       \   \2/      \2/   5/
f(x)=((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2f{\left(x \right)} = \left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2} 
f = (sin(x/2) + cos(x/2) + 1/5)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2=0\left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4atan⁡(12)x_{1} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
x2=4atan⁡(3)x_{2} = 4 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}
Solución numérica
x1=−7.57018712716813x_{1} = -7.57018712716813
x2=−1.8545902937402x_{2} = -1.8545902937402
x3=67.8280350902163x_{3} = 67.8280350902163
x4=−52.1200727979639x_{4} = -52.1200727979639
x5=48.4108926372303x_{5} = 48.4108926372303
x6=−1.85458983219618x_{6} = -1.85458983219618
x7=−14.4209609461946x_{7} = -14.4209609461946
x8=23.2781503956042x_{8} = 23.2781503956042
x9=−7.57018798349697x_{9} = -7.57018798349697
x10=−45.2692989345745x_{10} = -45.2692989345745
x11=−26.9873319968547x_{11} = -26.9873319968547
x12=60.9772623144244x_{12} = 60.9772623144244
x13=−32.7029292386146x_{13} = -32.7029292386146
x14=−39.5537023907713x_{14} = -39.5537023907713
x15=48.4108919272098x_{15} = 48.4108919272098
x16=92.960777033052x_{16} = 92.960777033052
x17=−95.5347819508756x_{17} = -95.5347819508756
x18=4.99618405271229x_{18} = 4.99618405271229
x19=−20.1365587467854x_{19} = -20.1365587467854
x20=80.3944062897332x_{20} = 80.3944062897332
x21=10.7117799508857x_{21} = 10.7117799508857
x22=17.5625531428935x_{22} = 17.5625531428935
x23=−77.2528143634133x_{23} = -77.2528143634133
x24=17.5625539431902x_{24} = 17.5625539431902
x25=60.9772631328613x_{25} = 60.9772631328613
x26=−32.702928421682x_{26} = -32.702928421682
x27=−64.6864431369795x_{27} = -64.6864431369795
x28=−26.9873311794228x_{28} = -26.9873311794228
x29=30.1289244931868x_{29} = 30.1289244931868
x30=−39.5537010015677x_{30} = -39.5537010015677
x31=42.6952948902365x_{31} = 42.6952948902365
x32=−57.8356705696945x_{32} = -57.8356705696945
x33=98.6763742655562x_{33} = 98.6763742655562
x34=67.8280362823603x_{34} = 67.8280362823603
x35=80.39440668751x_{35} = 80.39440668751
x36=−64.68644391119x_{36} = -64.68644391119
x37=−77.2528135593909x_{37} = -77.2528135593909
x38=−82.9684115972995x_{38} = -82.9684115972995
x39=35.8445215235269x_{39} = 35.8445215235269
x40=−95.5347822522334x_{40} = -95.5347822522334
x41=73.543633519085x_{41} = 73.543633519085
x42=−70.4020403714458x_{42} = -70.4020403714458
x43=55.261665889337x_{43} = 55.261665889337
x44=92.9607778012846x_{44} = 92.9607778012846
x45=73.5436332621464x_{45} = 73.5436332621464
x46=48.4108930028748x_{46} = 48.4108930028748
x47=−20.1365589281446x_{47} = -20.1365589281446
x48=−7.57018763192014x_{48} = -7.57018763192014
x49=−89.8191846685276x_{49} = -89.8191846685276
x50=−57.8356701243397x_{50} = -57.8356701243397
x51=−102.385555168247x_{51} = -102.385555168247
x52=23.2781511782053x_{52} = 23.2781511782053
x53=−20.1365580371133x_{53} = -20.1365580371133
x54=55.2616654308462x_{54} = 55.2616654308462
x55=−45.2692996227957x_{55} = -45.2692996227957
x56=23.2781496932424x_{56} = 23.2781496932424
x57=−57.8356698898062x_{57} = -57.8356698898062
x58=−57.83566975998x_{58} = -57.83566975998
x59=−26.9873315660353x_{59} = -26.9873315660353
x60=−1075.71169044159x_{60} = -1075.71169044159
x61=−95.5347814178403x_{61} = -95.5347814178403
x62=−82.9684108123697x_{62} = -82.9684108123697
x63=73.5436328234674x_{63} = 73.5436328234674
x64=80.3944071613533x_{64} = 80.3944071613533
x65=42.6952953662785x_{65} = 42.6952953662785
x66=−89.8191841273032x_{66} = -89.8191841273032
x67=86.1100043935204x_{67} = 86.1100043935204
x68=35.8445210192679x_{68} = 35.8445210192679
x69=−14.4209607980693x_{69} = -14.4209607980693
x70=−14.4209614774142x_{70} = -14.4209614774142
x71=10.7117807493718x_{71} = 10.7117807493718
x72=4.9961827177387x_{72} = 4.9961827177387
x73=86.1100036738729x_{73} = 86.1100036738729
x74=30.1289245175727x_{74} = 30.1289245175727
x75=−39.5537016658615x_{75} = -39.5537016658615
x76=−1.85459057255461x_{76} = -1.85459057255461
x77=55.2616650739124x_{77} = 55.2616650739124
x78=35.8445218858112x_{78} = 35.8445218858112
x79=−70.4020411655763x_{79} = -70.4020411655763
x80=42.6952946942526x_{80} = 42.6952946942526
x81=−52.1200732680072x_{81} = -52.1200732680072
x82=86.1100044614437x_{82} = 86.1100044614437
x83=92.9607784804873x_{83} = 92.9607784804873
x84=−45.2692993072836x_{84} = -45.2692993072836
x85=−89.819184806985x_{85} = -89.819184806985
x86=30.1289237234441x_{86} = 30.1289237234441
x87=4.99618349476045x_{87} = 4.99618349476045
x88=98.6763750575773x_{88} = 98.6763750575773
x89=67.8280355564391x_{89} = 67.8280355564391
x90=−52.120072389846x_{90} = -52.120072389846
x91=−64.6864445156141x_{91} = -64.6864445156141
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(x/2) + cos(x/2) + 1/5)^2.
(15+(sin⁡(02)+cos⁡(02)))2\left(\frac{1}{5} + \left(\sin{\left(\frac{0}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{0}{2} \right)}\right)\right)^{2}
Resultado:
f(0)=3625f{\left(0 \right)} = \frac{36}{25}
Punto:
(0, 36/25)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)(−sin⁡(x2)+cos⁡(x2))=0\left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right) \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π2x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−4atan⁡(12)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
x4=4atan⁡(3)x_{4} = 4 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                   2 
 -3*pi  /1     ___\  
(-----, |- - \/ 2 | )
   2    \5        /  

                2 
 pi  /1     ___\  
(--, |- + \/ 2 | )
 2   \5        /  

                                                          2 
(-4*atan(1/2), (1/5 - sin(2*atan(1/2)) + cos(2*atan(1/2))) )

                                                   2 
(4*atan(3), (1/5 + cos(2*atan(3)) + sin(2*atan(3))) )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−4atan⁡(12)x_{1} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
x2=4atan⁡(3)x_{2} = 4 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=−3π2x_{2} = - \frac{3 \pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[4atan⁡(3),∞)\left[4 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−4atan⁡(12)]∪[π2,4atan⁡(3)]\left(-\infty, - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, 4 \operatorname{atan}{\left(3 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(sin⁡(x2)−cos⁡(x2))2−(sin⁡(x2)+cos⁡(x2))(5sin⁡(x2)+5cos⁡(x2)+1)52=0\frac{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \left(5 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 5 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{5}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4atan⁡(−192+2341−174012+4012)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{19}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{341 - 17 \sqrt{401}}}{2} + \frac{\sqrt{401}}{2} \right)}
x2=−4atan⁡(192+4012+217401+3412)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{19}{2} + \frac{\sqrt{401}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 \sqrt{401} + 341}}{2} \right)}
x3=−4atan⁡(−4012+2341−174012+192)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{401}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{341 - 17 \sqrt{401}}}{2} + \frac{19}{2} \right)}
x4=−4atan⁡(−217401+3412+192+4012)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 \sqrt{401} + 341}}{2} + \frac{19}{2} + \frac{\sqrt{401}}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4atan⁡(−192+2341−174012+4012),∞)\left[4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{19}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{341 - 17 \sqrt{401}}}{2} + \frac{\sqrt{401}}{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−4atan⁡(−217401+3412+192+4012)]∪[−4atan⁡(−4012+2341−174012+192),4atan⁡(−192+2341−174012+4012)]\left(-\infty, - 4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{17 \sqrt{401} + 341}}{2} + \frac{19}{2} + \frac{\sqrt{401}}{2} \right)}\right] \cup \left[- 4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{401}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{341 - 17 \sqrt{401}}}{2} + \frac{19}{2} \right)}, 4 \operatorname{atan}{\left(- \frac{19}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{341 - 17 \sqrt{401}}}{2} + \frac{\sqrt{401}}{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2=⟨0,12125⟩\lim_{x \to -\infty} \left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2} = \left\langle 0, \frac{121}{25}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,12125⟩y = \left\langle 0, \frac{121}{25}\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2=⟨0,12125⟩\lim_{x \to \infty} \left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2} = \left\langle 0, \frac{121}{25}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,12125⟩y = \left\langle 0, \frac{121}{25}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x/2) + cos(x/2) + 1/5)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2=(−sin⁡(x2)+cos⁡(x2)+15)2\left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2} = \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{5}\right)^{2}
- No
((sin⁡(x2)+cos⁡(x2))+15)2=−(−sin⁡(x2)+cos⁡(x2)+15)2\left(\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) + \frac{1}{5}\right)^{2} = - \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{1}{5}\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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