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sin(cos(3*x))^(2)+2*pi
Trazado el gráfico de la función/ sin(cos(3*x))^(2)+2*pi

Gráfico de la función y = sin(cos(3*x))^(2)+2*pi

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2                 
f(x) = sin (cos(3*x)) + 2*pi
f(x)=sin⁡2(cos⁡(3x))+2πf{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi 
f = sin(cos(3*x))^2 + 2*pi
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10106.08.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(cos⁡(3x))+2π=0\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(cos(3*x))^2 + 2*pi.
sin⁡2(cos⁡(0⋅3))+2π\sin^{2}{\left(\cos{\left(0 \cdot 3 \right)} \right)} + 2 \pi
Resultado:
f(0)=sin⁡2(1)+2πf{\left(0 \right)} = \sin^{2}{\left(1 \right)} + 2 \pi
Punto:
(0, sin(1)^2 + 2*pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(3x)sin⁡(cos⁡(3x))cos⁡(cos⁡(3x))=0- 6 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π6x_{3} = \frac{\pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
       2           
(0, sin (1) + 2*pi)

 -pi        
(----, 2*pi)
  6         

 pi       
(--, 2*pi)
 6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π6,0]∪[π6,∞)\left[- \frac{\pi}{6}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[0,π6]\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(cos⁡(3x))+2π)=⟨0,sin⁡2(1)⟩+2π\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi\right) = \left\langle 0, \sin^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle + 2 \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,sin⁡2(1)⟩+2πy = \left\langle 0, \sin^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle + 2 \pi
lim⁡x→∞(sin⁡2(cos⁡(3x))+2π)=⟨0,sin⁡2(1)⟩+2π\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi\right) = \left\langle 0, \sin^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle + 2 \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,sin⁡2(1)⟩+2πy = \left\langle 0, \sin^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle + 2 \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(cos(3*x))^2 + 2*pi, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(cos⁡(3x))+2πx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(cos⁡(3x))+2πx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(cos⁡(3x))+2π=sin⁡2(cos⁡(3x))+2π\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi = \sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi
- Sí
sin⁡2(cos⁡(3x))+2π=−sin⁡2(cos⁡(3x))−2π\sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \pi = - \sin^{2}{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)} - 2 \pi
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(cos(3*x))^(2)+2*pi
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