Sr Examen

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sin6x+2cos3x
Trazado el gráfico de la función/ sin6x+2cos3x

Gráfico de la función y = sin6x+2cos3x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(6*x) + 2*cos(3*x)
f(x)=sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} 
f = sin(6*x) + 2*cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)=0\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}
Solución numérica
x1=−91.6297857297023x_{1} = -91.6297857297023
x2=86.3937979737193x_{2} = 86.3937979737193
x3=72.7802507340821x_{3} = 72.7802507340821
x4=−56.025068989018x_{4} = -56.025068989018
x5=12.0427582893912x_{5} = 12.0427582893912
x6=−7.85398163397448x_{6} = -7.85398163397448
x7=78.0162175641465x_{7} = 78.0162175641465
x8=−25.6563631682447x_{8} = -25.6563631682447
x9=−58.1194640914112x_{9} = -58.1194640914112
x10=−17.2787658184495x_{10} = -17.2787658184495
x11=82.2050077689329x_{11} = 82.2050077689329
x12=−71.7330366891137x_{12} = -71.7330366891137
x13=−3.66519142918809x_{13} = -3.66519142918809
x14=64.4026139003315x_{14} = 64.4026139003315
x15=−88.4882197448468x_{15} = -88.4882197448468
x16=14.1371746311081x_{16} = 14.1371746311081
x17=−47.6474885794452x_{17} = -47.6474885794452
x18=−16.2315620435473x_{18} = -16.2315620435473
x19=−51.8362787842316x_{19} = -51.8362787842316
x20=40.317105721069x_{20} = 40.317105721069
x21=38.2227106186758x_{21} = 38.2227106186758
x22=−61.2610284419178x_{22} = -61.2610284419178
x23=80.1106126665397x_{23} = 80.1106126665397
x24=−27.7507349140879x_{24} = -27.7507349140879
x25=31.9395253114962x_{25} = 31.9395253114962
x26=34.0339204138894x_{26} = 34.0339204138894
x27=−80.1105798289775x_{27} = -80.1105798289775
x28=−69.6386642264464x_{28} = -69.6386642264464
x29=84.2994028713261x_{29} = 84.2994028713261
x30=56.0250605081548x_{30} = 56.0250605081548
x31=−78.0162119738293x_{31} = -78.0162119738293
x32=36.1283155162826x_{32} = 36.1283155162826
x33=−9.94837673636768x_{33} = -9.94837673636768
x34=42.4115008234622x_{34} = 42.4115008234622
x35=−29.8451155401915x_{35} = -29.8451155401915
x36=58.1194604293512x_{36} = 58.1194604293512
x37=100.007363587005x_{37} = 100.007363587005
x38=−75.9218398742025x_{38} = -75.9218398742025
x39=−0.52356731973288x_{39} = -0.52356731973288
x40=−97.9129710368819x_{40} = -97.9129710368819
x41=−49.7418836818384x_{41} = -49.7418836818384
x42=62.3082394437526x_{42} = 62.3082394437526
x43=−95.8185759344887x_{43} = -95.8185759344887
x44=53.9306960771948x_{44} = 53.9306960771948
x45=−5.75958653158129x_{45} = -5.75958653158129
x46=30.8923257529709x_{46} = 30.8923257529709
x47=60.2138684289819x_{47} = 60.2138684289819
x48=−31.9395421257451x_{48} = -31.9395421257451
x49=18.3259380577434x_{49} = 18.3259380577434
x50=−12.0427718387609x_{50} = -12.0427718387609
x51=−73.8274112345701x_{51} = -73.8274112345701
x52=−53.9306738866248x_{52} = -53.9306738866248
x53=−93.7241808320955x_{53} = -93.7241808320955
x54=−14.1371669411541x_{54} = -14.1371669411541
x55=89.5354065077626x_{55} = 89.5354065077626
x56=9.94839375467499x_{56} = 9.94839375467499
x57=45.5531274936893x_{57} = 45.5531274936893
x58=29.845130209103x_{58} = 29.845130209103
x59=16.2315668495577x_{59} = 16.2315668495577
x60=26.7035092327958x_{60} = 26.7035092327958
x61=75.9218224617533x_{61} = 75.9218224617533
x62=97.9129980286252x_{62} = 97.9129980286252
x63=−63.3554344014648x_{63} = -63.3554344014648
x64=−100.007366139275x_{64} = -100.007366139275
x65=−34.0339089404682x_{65} = -34.0339089404682
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(6*x) + 2*cos(3*x).
sin⁡(0⋅6)+2cos⁡(0⋅3)\sin{\left(0 \cdot 6 \right)} + 2 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(3x)+6cos⁡(6x)=0- 6 \sin{\left(3 x \right)} + 6 \cos{\left(6 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π18x_{3} = \frac{\pi}{18}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
x5=17π18x_{5} = \frac{17 \pi}{18}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi    
(-----, 0)
   6      

 -pi     
(----, 0)
  6      

         ___ 
 pi  3*\/ 3  
(--, -------)
 18     2    

 pi    
(--, 0)
 2     

             ___ 
 17*pi  -3*\/ 3  
(-----, --------)
   18      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=17π18x_{1} = \frac{17 \pi}{18}
Puntos máximos de la función:
x1=π18x_{1} = \frac{\pi}{18}
Decrece en los intervalos
(−∞,π18]∪[17π18,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{18}\right] \cup \left[\frac{17 \pi}{18}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π18,17π18]\left[\frac{\pi}{18}, \frac{17 \pi}{18}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−18(2sin⁡(6x)+cos⁡(3x))=0- 18 \left(2 \sin{\left(6 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π6x_{4} = \frac{\pi}{6}
x5=π2x_{5} = \frac{\pi}{2}
x6=5π6x_{6} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5π6,∞)\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−5π6]\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(6x)+2cos⁡(3x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(6x)+2cos⁡(3x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(6*x) + 2*cos(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)=−sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} = - \sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)}
- No
sin⁡(6x)+2cos⁡(3x)=sin⁡(6x)−2cos⁡(3x)\sin{\left(6 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} = \sin{\left(6 x \right)} - 2 \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin6x+2cos3x
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