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sin(x^6)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x^6)

Gráfico de la función y = sin(x^6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 6\
f(x) = sin\x /
f(x)=sin⁡(x6)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{6} \right)} 
f = sin(x^6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x6)=0\sin{\left(x^{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π6x_{2} = - \sqrt[6]{\pi}
x3=π6x_{3} = \sqrt[6]{\pi}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−5.94395963903668x_{2} = -5.94395963903668
x3=2.13326686586266x_{3} = 2.13326686586266
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x^6).
sin⁡(06)\sin{\left(0^{6} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x5cos⁡(x6)=06 x^{5} \cos{\left(x^{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−256π62x_{2} = - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\pi}}{2}
x3=256π62x_{3} = \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\pi}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

   5/6 6 ____     
 -2   *\/ pi      
(-------------, 1)
       2          

  5/6 6 ____    
 2   *\/ pi     
(-----------, 1)
      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−256π62x_{1} = - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\pi}}{2}
x1=256π62x_{1} = \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\pi}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−256π62]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\pi}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[256π62,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\pi}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x4(−6x6sin⁡(x6)+5cos⁡(x6))=06 x^{4} \left(- 6 x^{6} \sin{\left(x^{6} \right)} + 5 \cos{\left(x^{6} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.22523467940521x_{1} = 1.22523467940521
x2=0x_{2} = 0
x3=−6.19999562667405x_{3} = -6.19999562667405
x4=2.51732958599196x_{4} = 2.51732958599196
x5=−5.38131268625981x_{5} = -5.38131268625981
x6=4.80999268422774x_{6} = 4.80999268422774
x7=−3.49786536517659x_{7} = -3.49786536517659
x8=2.15636666388893x_{8} = 2.15636666388893
x9=−1.77658504862149x_{9} = -1.77658504862149

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2.51732958599196,∞)\left[2.51732958599196, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−6.19999562667405]\left(-\infty, -6.19999562667405\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x^6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x6)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x6)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x6)=sin⁡(x6)\sin{\left(x^{6} \right)} = \sin{\left(x^{6} \right)}
- Sí
sin⁡(x6)=−sin⁡(x6)\sin{\left(x^{6} \right)} = - \sin{\left(x^{6} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x^6)
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