Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} + 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 x} - \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -46.6602421948461$$
$$x_{2} = -24.6690936197175$$
$$x_{3} = -62.3682054627951$$
$$x_{4} = -49.8018348484359$$
$$x_{5} = -40.3770568876665$$
$$x_{6} = -68.6513907699746$$
$$x_{7} = -65.5097981163849$$
$$x_{8} = -71.7929834235644$$
$$x_{9} = -34.0938715804869$$
$$x_{10} = -43.5186495412563$$
$$x_{11} = -90.6425393451032$$
$$x_{12} = -18.385908312538$$
$$x_{13} = -21.5275009661277$$
$$x_{14} = -87.5009466915134$$
$$x_{15} = -12.1027230052723$$
$$x_{16} = -27.8106862733073$$
$$x_{17} = -93.784131998693$$
$$x_{18} = -96.9257246522828$$
$$x_{19} = 14.4589174955506$$
$$x_{20} = 5.03412469313861$$
$$x_{21} = 11.3173248419092$$
$$x_{22} = -15.244315658948$$
$$x_{23} = -30.9522789268971$$
$$x_{24} = -5.81951301553248$$
$$x_{25} = 8.17573216065597$$
$$x_{26} = -59.2266128092053$$
$$x_{27} = -2.66439227655508$$
$$x_{28} = -81.2177613843338$$
$$x_{29} = -37.2354642340767$$
$$x_{30} = -84.3593540379236$$
$$x_{31} = -56.0850201556155$$
$$x_{32} = 1.88447974266388$$
$$x_{33} = -100.067317305873$$
$$x_{34} = -78.076168730744$$
$$x_{35} = -52.9434275020257$$
$$x_{36} = -8.96113030567725$$
$$x_{37} = -74.9345760771542$$
Signos de extremos en los puntos:
(-46.66024219484609, -1.11803398874989)
(-24.66909361971754, 1.11803398874989)
(-62.36820546279506, 1.11803398874989)
(-49.80183484843589, 1.11803398874989)
(-40.377056887666505, -1.11803398874989)
(-68.65139076997464, 1.11803398874989)
(-65.50979811638486, -1.11803398874989)
(-71.79298342356444, -1.11803398874989)
(-34.09387158048692, -1.11803398874989)
(-43.5186495412563, 1.11803398874989)
(-90.6425393451032, -1.11803398874989)
(-18.385908312537953, 1.11803398874989)
(-21.527500966127747, -1.11803398874989)
(-87.5009466915134, 1.11803398874989)
(-12.102723005272294, 1.11803398879114)
(-27.810686273307333, -1.11803398874989)
(-93.78413199869298, 1.11803398874989)
(-96.92572465228278, -1.11803398874989)
(14.458917495550615, 2290267239515.66)
(5.034124693138614, -14915.3222875833)
(11.317324841909162, -4276942910.26027)
(-15.244315658947999, -1.11803398874997)
(-30.952278926897126, 1.11803398874989)
(-5.81951301553248, 1.11804581542154)
(8.17573216065597, 7986946.10951418)
(-59.226612809205264, -1.11803398874989)
(-2.6643922765550845, -1.12446701441265)
(-81.21776138433381, 1.11803398874989)
(-37.235464234076716, 1.11803398874989)
(-84.35935403792361, -1.11803398874989)
(-56.085020155615474, 1.11803398874989)
(1.8844797426638766, 28.0157690849564)
(-100.06731730587258, 1.11803398874989)
(-78.07616873074403, -1.11803398874989)
(-52.94342750202568, -1.11803398874989)
(-8.961130305677255, -1.11803401083489)
(-74.93457607715423, 1.11803398874989)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -46.6602421948461$$
$$x_{2} = -40.3770568876665$$
$$x_{3} = -65.5097981163849$$
$$x_{4} = -71.7929834235644$$
$$x_{5} = -34.0938715804869$$
$$x_{6} = -90.6425393451032$$
$$x_{7} = -21.5275009661277$$
$$x_{8} = -27.8106862733073$$
$$x_{9} = -96.9257246522828$$
$$x_{10} = 5.03412469313861$$
$$x_{11} = 11.3173248419092$$
$$x_{12} = -15.244315658948$$
$$x_{13} = -59.2266128092053$$
$$x_{14} = -2.66439227655508$$
$$x_{15} = -84.3593540379236$$
$$x_{16} = -78.076168730744$$
$$x_{17} = -52.9434275020257$$
$$x_{18} = -8.96113030567725$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{18} = -24.6690936197175$$
$$x_{18} = -62.3682054627951$$
$$x_{18} = -49.8018348484359$$
$$x_{18} = -68.6513907699746$$
$$x_{18} = -43.5186495412563$$
$$x_{18} = -18.385908312538$$
$$x_{18} = -87.5009466915134$$
$$x_{18} = -12.1027230052723$$
$$x_{18} = -93.784131998693$$
$$x_{18} = 14.4589174955506$$
$$x_{18} = -30.9522789268971$$
$$x_{18} = -5.81951301553248$$
$$x_{18} = 8.17573216065597$$
$$x_{18} = -81.2177613843338$$
$$x_{18} = -37.2354642340767$$
$$x_{18} = -56.0850201556155$$
$$x_{18} = 1.88447974266388$$
$$x_{18} = -100.067317305873$$
$$x_{18} = -74.9345760771542$$
Decrece en los intervalos
$$\left[11.3173248419092, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -96.9257246522828\right]$$