Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- cos(3x)+3cos(x)
- coseno de (3x) más 3 coseno de (x)
- cos3x+3cosx
-
Expresiones semejantes
- y=cos3x+3cosx
- cos(3x)-3cos(x)
- cos(3x)+3cosx
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x),x
- cos(x)-sqrt(3)*sin(x)
- cos(x)*e^x
- cos(x)+sin(2*x)/2
- cos(x)/(1+x^2)
Gráfico de la función y = cos(3x)+3cos(x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = cos(3*x) + 3*cos(x)
$$f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$
f = 3*cos(x) + cos(3*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.57080273224359$$
$$x_{2} = 14.1371748405436$$
$$x_{3} = 45.5531567451367$$
$$x_{4} = 64.4026122770508$$
$$x_{5} = -95.8185603030962$$
$$x_{6} = -7.85396939058216$$
$$x_{7} = 95.818627417042$$
$$x_{8} = 70.6858302611407$$
$$x_{9} = -89.5354410428862$$
$$x_{10} = 23.5619763533234$$
$$x_{11} = -29.8451152214988$$
$$x_{12} = -1.57083925518957$$
$$x_{13} = 58.1194603256925$$
$$x_{14} = -23.5619897288019$$
$$x_{15} = 73.8274768053124$$
$$x_{16} = 92.6770059000324$$
$$x_{17} = 48.6946439323886$$
$$x_{18} = 42.4114617473496$$
$$x_{19} = 29.8451754771722$$
$$x_{20} = -36.1282768063468$$
$$x_{21} = -67.5442906223714$$
$$x_{22} = -58.1194276545353$$
$$x_{23} = 51.8363261592826$$
$$x_{24} = 7.85402475701276$$
$$x_{25} = -51.8362625267018$$
$$x_{26} = 36.128317789764$$
$$x_{27} = -80.1105785507599$$
$$x_{28} = -42.4114638604687$$
$$x_{29} = 80.1106035284868$$
$$x_{30} = -45.5531401844306$$
$$x_{31} = 86.3937628262857$$
$$x_{32} = -14.1371260033657$$
$$x_{33} = 20.4203112367381$$
$$x_{34} = -73.827410994311$$
$$x_{35} = -20.4203505482106$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.57080273224359$$
$$x_{2} = 14.1371748405436$$
$$x_{3} = 45.5531567451367$$
$$x_{4} = 64.4026122770508$$
$$x_{5} = -95.8185603030962$$
$$x_{6} = -7.85396939058216$$
$$x_{7} = 95.818627417042$$
$$x_{8} = 70.6858302611407$$
$$x_{9} = -89.5354410428862$$
$$x_{10} = 23.5619763533234$$
$$x_{11} = -29.8451152214988$$
$$x_{12} = -1.57083925518957$$
$$x_{13} = 58.1194603256925$$
$$x_{14} = -23.5619897288019$$
$$x_{15} = 73.8274768053124$$
$$x_{16} = 92.6770059000324$$
$$x_{17} = 48.6946439323886$$
$$x_{18} = 42.4114617473496$$
$$x_{19} = 29.8451754771722$$
$$x_{20} = -36.1282768063468$$
$$x_{21} = -67.5442906223714$$
$$x_{22} = -58.1194276545353$$
$$x_{23} = 51.8363261592826$$
$$x_{24} = 7.85402475701276$$
$$x_{25} = -51.8362625267018$$
$$x_{26} = 36.128317789764$$
$$x_{27} = -80.1105785507599$$
$$x_{28} = -42.4114638604687$$
$$x_{29} = 80.1106035284868$$
$$x_{30} = -45.5531401844306$$
$$x_{31} = 86.3937628262857$$
$$x_{32} = -14.1371260033657$$
$$x_{33} = 20.4203112367381$$
$$x_{34} = -73.827410994311$$
$$x_{35} = -20.4203505482106$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 3 \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 3 \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
(pi, -4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 3 \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 3 \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x) + 3*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - 3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$$
- Sí
$$3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - 3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico