Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=cos3x+3cosx

Gráfico de la función y = y=cos3x+3cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(3*x) + 3*cos(x)
f(x)=3cos⁡(x)+cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} 
f = 3*cos(x) + cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x)+cos⁡(3x)=03 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=36.128317789764x_{1} = 36.128317789764
x2=23.5619763533234x_{2} = 23.5619763533234
x3=−89.5354410428862x_{3} = -89.5354410428862
x4=58.1194603256925x_{4} = 58.1194603256925
x5=−7.85396939058216x_{5} = -7.85396939058216
x6=14.1371748405436x_{6} = 14.1371748405436
x7=51.8363261592826x_{7} = 51.8363261592826
x8=−58.1194276545353x_{8} = -58.1194276545353
x9=86.3937628262857x_{9} = 86.3937628262857
x10=−45.5531401844306x_{10} = -45.5531401844306
x11=−42.4114638604687x_{11} = -42.4114638604687
x12=−67.5442906223714x_{12} = -67.5442906223714
x13=−95.8185603030962x_{13} = -95.8185603030962
x14=48.6946439323886x_{14} = 48.6946439323886
x15=−51.8362625267018x_{15} = -51.8362625267018
x16=−1.57083925518957x_{16} = -1.57083925518957
x17=−29.8451152214988x_{17} = -29.8451152214988
x18=95.818627417042x_{18} = 95.818627417042
x19=−14.1371260033657x_{19} = -14.1371260033657
x20=20.4203112367381x_{20} = 20.4203112367381
x21=−80.1105785507599x_{21} = -80.1105785507599
x22=73.8274768053124x_{22} = 73.8274768053124
x23=92.6770059000324x_{23} = 92.6770059000324
x24=70.6858302611407x_{24} = 70.6858302611407
x25=7.85402475701276x_{25} = 7.85402475701276
x26=80.1106035284868x_{26} = 80.1106035284868
x27=1.57080273224359x_{27} = 1.57080273224359
x28=−23.5619897288019x_{28} = -23.5619897288019
x29=64.4026122770508x_{29} = 64.4026122770508
x30=−73.827410994311x_{30} = -73.827410994311
x31=29.8451754771722x_{31} = 29.8451754771722
x32=−20.4203505482106x_{32} = -20.4203505482106
x33=−36.1282768063468x_{33} = -36.1282768063468
x34=45.5531567451367x_{34} = 45.5531567451367
x35=42.4114617473496x_{35} = 42.4114617473496
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(3*x) + 3*cos(x).
cos⁡(0⋅3)+3cos⁡(0)\cos{\left(0 \cdot 3 \right)} + 3 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)−3sin⁡(3x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=πx_{4} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(cos⁡(x)+3cos⁡(3x))=0- 3 \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(3)−log⁡(1−22i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(3)−log⁡(1+22i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,−atan⁡(22)2]∪[atan⁡(22)2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x)+cos⁡(3x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x)+cos⁡(3x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x) + 3*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x)+cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x)+cos⁡(3x)=3cos⁡(x)+cos⁡(3x)3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}
- Sí
3cos⁡(x)+cos⁡(3x)=−3cos⁡(x)−cos⁡(3x)3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = - 3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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