Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ exp(x)/(-1+x*exp(x))

Gráfico de la función y = exp(x)/(-1+x*exp(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x   
           e    
f(x) = ---------
               x
       -1 + x*e
f(x)=exxex−1f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{x e^{x} - 1} 
f = exp(x)/(x*exp(x) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exxex−1=0\frac{e^{x}}{x e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)/(-1 + x*exp(x)).
e0−1+0e0\frac{e^{0}}{-1 + 0 e^{0}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−xex−ex)ex(xex−1)2+exxex−1=0\frac{\left(- x e^{x} - e^{x}\right) e^{x}}{\left(x e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{e^{x}}{x e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2(x+1)exxex−1+1−(x−2(x+1)2exxex−1+2)exxex−1)exxex−1=0\frac{\left(- \frac{2 \left(x + 1\right) e^{x}}{x e^{x} - 1} + 1 - \frac{\left(x - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2} e^{x}}{x e^{x} - 1} + 2\right) e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) e^{x}}{x e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34.8720785287848x_{1} = -34.8720785287848
x2=33969.8380463588x_{2} = 33969.8380463588
x3=−56.8720030830003x_{3} = -56.8720030830003
x4=17017.8051950061x_{4} = 17017.8051950061
x5=−120.872003083x_{5} = -120.872003083
x6=37360.2502645683x_{6} = 37360.2502645683
x7=−50.8720030830196x_{7} = -50.8720030830196
x8=39903.0599551918x_{8} = 39903.0599551918
x9=−68.8720030830002x_{9} = -68.8720030830002
x10=22103.4066978018x_{10} = 22103.4066978018
x11=−72.8720030830002x_{11} = -72.8720030830002
x12=−98.8720030830002x_{12} = -98.8720030830002
x13=−44.8720030891774x_{13} = -44.8720030891774
x14=−88.8720030830002x_{14} = -88.8720030830002
x15=−52.872003083003x_{15} = -52.872003083003
x16=−108.872003083x_{16} = -108.872003083
x17=12779.8184773051x_{17} = 12779.8184773051
x18=27189.0171452781x_{18} = 27189.0171452781
x19=−114.872003083x_{19} = -114.872003083
x20=−64.8720030830002x_{20} = -64.8720030830002
x21=19560.6043923517x_{21} = 19560.6043923517
x22=−92.8720030830002x_{22} = -92.8720030830002
x23=−78.8720030830002x_{23} = -78.8720030830002
x24=−110.872003083x_{24} = -110.872003083
x25=18713.004252x_{25} = 18713.004252
x26=31427.029551779x_{26} = 31427.029551779
x27=−40.8720033601613x_{27} = -40.8720033601613
x28=29731.8242890716x_{28} = 29731.8242890716
x29=−104.872003083x_{29} = -104.872003083
x30=−118.872003083x_{30} = -118.872003083
x31=11932.224070399x_{31} = 11932.224070399
x32=41598.2666205299x_{32} = 41598.2666205299
x33=−38.8720049089164x_{33} = -38.8720049089164
x34=28884.2217989658x_{34} = 28884.2217989658
x35=−84.8720030830002x_{35} = -84.8720030830002
x36=−60.8720030830002x_{36} = -60.8720030830002
x37=−42.8720031245767x_{37} = -42.8720031245767
x38=−74.8720030830002x_{38} = -74.8720030830002
x39=36512.6471277453x_{39} = 36512.6471277453
x40=24646.2111494747x_{40} = 24646.2111494747
x41=22951.007978446x_{41} = 22951.007978446
x42=23798.6094695748x_{42} = 23798.6094695748
x43=39055.4566813312x_{43} = 39055.4566813312
x44=−66.8720030830002x_{44} = -66.8720030830002
x45=−86.8720030830002x_{45} = -86.8720030830002
x46=−58.8720030830002x_{46} = -58.8720030830002
x47=−90.8720030830002x_{47} = -90.8720030830002
x48=−96.8720030830002x_{48} = -96.8720030830002
x49=−32.8724709881114x_{49} = -32.8724709881114
x50=−102.872003083x_{50} = -102.872003083
x51=25493.8129993199x_{51} = 25493.8129993199
x52=40750.6632690734x_{52} = 40750.6632690734
x53=−36.8720149341199x_{53} = -36.8720149341199
x54=−76.8720030830002x_{54} = -76.8720030830002
x55=−48.8720030831335x_{55} = -48.8720030831335
x56=26341.415002707x_{56} = 26341.415002707
x57=−100.872003083x_{57} = -100.872003083
x58=32274.6323095441x_{58} = 32274.6323095441
x59=17865.4045002026x_{59} = 17865.4045002026
x60=−94.8720030830002x_{60} = -94.8720030830002
x61=13627.4141064857x_{61} = 13627.4141064857
x62=30579.4268759524x_{62} = 30579.4268759524
x63=33122.2351429581x_{63} = 33122.2351429581
x64=−80.8720030830002x_{64} = -80.8720030830002
x65=−46.8720030839107x_{65} = -46.8720030839107
x66=16170.2064066252x_{66} = 16170.2064066252
x67=34817.4410146354x_{67} = 34817.4410146354
x68=−82.8720030830002x_{68} = -82.8720030830002
x69=−30.8747988349103x_{69} = -30.8747988349103
x70=20408.2048728529x_{70} = 20408.2048728529
x71=35665.0440431628x_{71} = 35665.0440431628
x72=42445.8700073105x_{72} = 42445.8700073105
x73=21255.8056528181x_{73} = 21255.8056528181
x74=−106.872003083x_{74} = -106.872003083
x75=−62.8720030830002x_{75} = -62.8720030830002
x76=−116.872003083x_{76} = -116.872003083
x77=38207.8534501551x_{77} = 38207.8534501551
x78=14475.0107433788x_{78} = 14475.0107433788
x79=−28.8877742011331x_{79} = -28.8877742011331
x80=−112.872003083x_{80} = -112.872003083
x81=15322.6082208073x_{81} = 15322.6082208073
x82=−54.8720030830006x_{82} = -54.8720030830006
x83=28036.6194144112x_{83} = 28036.6194144112
x84=−70.8720030830002x_{84} = -70.8720030830002
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784

lim⁡x→0.567143290409784−((−2(x+1)exxex−1+1−(x−2(x+1)2exxex−1+2)exxex−1)exxex−1)=−∞\lim_{x \to 0.567143290409784^-}\left(\frac{\left(- \frac{2 \left(x + 1\right) e^{x}}{x e^{x} - 1} + 1 - \frac{\left(x - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2} e^{x}}{x e^{x} - 1} + 2\right) e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→0.567143290409784+((−2(x+1)exxex−1+1−(x−2(x+1)2exxex−1+2)exxex−1)exxex−1)=∞\lim_{x \to 0.567143290409784^+}\left(\frac{\left(- \frac{2 \left(x + 1\right) e^{x}}{x e^{x} - 1} + 1 - \frac{\left(x - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2} e^{x}}{x e^{x} - 1} + 2\right) e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exxex−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exxex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)/(-1 + x*exp(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(xex−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x e^{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exx(xex−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x e^{x} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exxex−1=e−x−xe−x−1\frac{e^{x}}{x e^{x} - 1} = \frac{e^{- x}}{- x e^{- x} - 1}
- No
exxex−1=−e−x−xe−x−1\frac{e^{x}}{x e^{x} - 1} = - \frac{e^{- x}}{- x e^{- x} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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