Sr Examen

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-cos(x)-sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)-sin(x)

Gráfico de la función y = -cos(x)-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -cos(x) - sin(x)
f(x)=−sin⁡(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = -sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)−cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−0.785398163397448x_{1} = -0.785398163397448
x2=−51.0508806208341x_{2} = -51.0508806208341
x3=−98.174770424681x_{3} = -98.174770424681
x4=−7.06858347057703x_{4} = -7.06858347057703
x5=−85.6083998103219x_{5} = -85.6083998103219
x6=84.037603483527x_{6} = 84.037603483527
x7=−95.0331777710912x_{7} = -95.0331777710912
x8=18.0641577581413x_{8} = 18.0641577581413
x9=77.7544181763474x_{9} = 77.7544181763474
x10=−107.59954838545x_{10} = -107.59954838545
x11=36.9137136796801x_{11} = 36.9137136796801
x12=−41.6261026600648x_{12} = -41.6261026600648
x13=−32.2013246992954x_{13} = -32.2013246992954
x14=46.3384916404494x_{14} = 46.3384916404494
x15=8.63937979737193x_{15} = 8.63937979737193
x16=−76.1836218495525x_{16} = -76.1836218495525
x17=−54.1924732744239x_{17} = -54.1924732744239
x18=40.0553063332699x_{18} = 40.0553063332699
x19=−25.9181393921158x_{19} = -25.9181393921158
x20=55.7632696012188x_{20} = 55.7632696012188
x21=71.4712328691678x_{21} = 71.4712328691678
x22=−60.4756585816035x_{22} = -60.4756585816035
x23=21.2057504117311x_{23} = 21.2057504117311
x24=−38.484510006475x_{24} = -38.484510006475
x25=2.35619449019234x_{25} = 2.35619449019234
x26=99.7455667514759x_{26} = 99.7455667514759
x27=351.072979038659x_{27} = 351.072979038659
x28=30.6305283725005x_{28} = 30.6305283725005
x29=90.3207887907066x_{29} = 90.3207887907066
x30=11.7809724509617x_{30} = 11.7809724509617
x31=−57.3340659280137x_{31} = -57.3340659280137
x32=−29.0597320457056x_{32} = -29.0597320457056
x33=−88.7499924639117x_{33} = -88.7499924639117
x34=−79.3252145031423x_{34} = -79.3252145031423
x35=65.1880475619882x_{35} = 65.1880475619882
x36=27.4889357189107x_{36} = 27.4889357189107
x37=−44.7676953136546x_{37} = -44.7676953136546
x38=−16.4933614313464x_{38} = -16.4933614313464
x39=−22.776546738526x_{39} = -22.776546738526
x40=−19.6349540849362x_{40} = -19.6349540849362
x41=−91.8915851175014x_{41} = -91.8915851175014
x42=−63.6172512351933x_{42} = -63.6172512351933
x43=−3.92699081698724x_{43} = -3.92699081698724
x44=49.4800842940392x_{44} = 49.4800842940392
x45=−13.3517687777566x_{45} = -13.3517687777566
x46=−69.9004365423729x_{46} = -69.9004365423729
x47=93.4623814442964x_{47} = 93.4623814442964
x48=−73.0420291959627x_{48} = -73.0420291959627
x49=87.1791961371168x_{49} = 87.1791961371168
x50=52.621676947629x_{50} = 52.621676947629
x51=−66.7588438887831x_{51} = -66.7588438887831
x52=24.3473430653209x_{52} = 24.3473430653209
x53=33.7721210260903x_{53} = 33.7721210260903
x54=−10.2101761241668x_{54} = -10.2101761241668
x55=−35.3429173528852x_{55} = -35.3429173528852
x56=5.49778714378214x_{56} = 5.49778714378214
x57=58.9048622548086x_{57} = 58.9048622548086
x58=96.6039740978861x_{58} = 96.6039740978861
x59=43.1968989868597x_{59} = 43.1968989868597
x60=14.9225651045515x_{60} = 14.9225651045515
x61=74.6128255227576x_{61} = 74.6128255227576
x62=−82.4668071567321x_{62} = -82.4668071567321
x63=62.0464549083984x_{63} = 62.0464549083984
x64=−47.9092879672443x_{64} = -47.9092879672443
x65=68.329640215578x_{65} = 68.329640215578
x66=80.8960108299372x_{66} = 80.8960108299372
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -cos(x) - sin(x).
−cos⁡(0)−sin⁡(0)- \cos{\left(0 \right)} - \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     ___ 
(--, -\/ 2 )
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -cos(x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)−cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
−sin⁡(x)−cos⁡(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -cos(x)-sin(x)
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