Sr Examen

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cos(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x/2)

Gráfico de la función y = cos(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = cos|-|
          \2/
f(x)=cos⁡(x2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = cos(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x2)=0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−97.3893722612836x_{2} = -97.3893722612836
x3=−84.8230016469244x_{3} = -84.8230016469244
x4=−21.9911485751286x_{4} = -21.9911485751286
x5=−9591.28237140964x_{5} = -9591.28237140964
x6=47.1238898038469x_{6} = 47.1238898038469
x7=−15.707963267949x_{7} = -15.707963267949
x8=53.4070751110265x_{8} = 53.4070751110265
x9=−3.14159265358979x_{9} = -3.14159265358979
x10=34.5575191894877x_{10} = 34.5575191894877
x11=65.9734457253857x_{11} = 65.9734457253857
x12=97.3893722612836x_{12} = 97.3893722612836
x13=15.707963267949x_{13} = 15.707963267949
x14=3.14159265358979x_{14} = 3.14159265358979
x15=40.8407044966673x_{15} = 40.8407044966673
x16=−78.5398163397448x_{16} = -78.5398163397448
x17=−53.4070751110265x_{17} = -53.4070751110265
x18=−40.8407044966673x_{18} = -40.8407044966673
x19=−65.9734457253857x_{19} = -65.9734457253857
x20=7517042.68028432x_{20} = 7517042.68028432
x21=−28.2743338823081x_{21} = -28.2743338823081
x22=78.5398163397448x_{22} = 78.5398163397448
x23=59.6902604182061x_{23} = 59.6902604182061
x24=−34.5575191894877x_{24} = -34.5575191894877
x25=−47.1238898038469x_{25} = -47.1238898038469
x26=−9.42477796076938x_{26} = -9.42477796076938
x27=−72.2566310325652x_{27} = -72.2566310325652
x28=28.2743338823081x_{28} = 28.2743338823081
x29=−91.106186954104x_{29} = -91.106186954104
x30=21.9911485751286x_{30} = 21.9911485751286
x31=−160.221225333079x_{31} = -160.221225333079
x32=9.42477796076938x_{32} = 9.42477796076938
x33=91.106186954104x_{33} = 91.106186954104
x34=72.2566310325652x_{34} = 72.2566310325652
x35=84.8230016469244x_{35} = 84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/2).
cos⁡(02)\cos{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x2)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(2*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x2)4=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x2)=cos⁡(x2)\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
cos⁡(x2)=−cos⁡(x2)\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x/2)
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