Sr Examen

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cos(x)-sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)-sin(x)

Gráfico de la función y = cos(x)-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) - sin(x)
f(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = -sin(x) + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=63.6172512351933x_{1} = 63.6172512351933
x2=−65.1880475619882x_{2} = -65.1880475619882
x3=47.9092879672443x_{3} = 47.9092879672443
x4=76.1836218495525x_{4} = 76.1836218495525
x5=57.3340659280137x_{5} = 57.3340659280137
x6=44.7676953136546x_{6} = 44.7676953136546
x7=−11.7809724509617x_{7} = -11.7809724509617
x8=−8.63937979737193x_{8} = -8.63937979737193
x9=−62.0464549083984x_{9} = -62.0464549083984
x10=−40.0553063332699x_{10} = -40.0553063332699
x11=3.92699081698724x_{11} = 3.92699081698724
x12=29.0597320457056x_{12} = 29.0597320457056
x13=38.484510006475x_{13} = 38.484510006475
x14=−228.550865548657x_{14} = -228.550865548657
x15=13.3517687777566x_{15} = 13.3517687777566
x16=−30.6305283725005x_{16} = -30.6305283725005
x17=32.2013246992954x_{17} = 32.2013246992954
x18=7.06858347057703x_{18} = 7.06858347057703
x19=−43.1968989868597x_{19} = -43.1968989868597
x20=−33.7721210260903x_{20} = -33.7721210260903
x21=88.7499924639117x_{21} = 88.7499924639117
x22=−49.4800842940392x_{22} = -49.4800842940392
x23=−58.9048622548086x_{23} = -58.9048622548086
x24=−68.329640215578x_{24} = -68.329640215578
x25=98.174770424681x_{25} = 98.174770424681
x26=−24.3473430653209x_{26} = -24.3473430653209
x27=35.3429173528852x_{27} = 35.3429173528852
x28=69.9004365423729x_{28} = 69.9004365423729
x29=85.6083998103219x_{29} = 85.6083998103219
x30=1672.11268987317x_{30} = 1672.11268987317
x31=−27.4889357189107x_{31} = -27.4889357189107
x32=54.1924732744239x_{32} = 54.1924732744239
x33=−84.037603483527x_{33} = -84.037603483527
x34=19.6349540849362x_{34} = 19.6349540849362
x35=10.2101761241668x_{35} = 10.2101761241668
x36=41.6261026600648x_{36} = 41.6261026600648
x37=79.3252145031423x_{37} = 79.3252145031423
x38=−14.9225651045515x_{38} = -14.9225651045515
x39=−46.3384916404494x_{39} = -46.3384916404494
x40=−5.49778714378214x_{40} = -5.49778714378214
x41=−96.6039740978861x_{41} = -96.6039740978861
x42=60.4756585816035x_{42} = 60.4756585816035
x43=51.0508806208341x_{43} = 51.0508806208341
x44=25.9181393921158x_{44} = 25.9181393921158
x45=−90.3207887907066x_{45} = -90.3207887907066
x46=−74.6128255227576x_{46} = -74.6128255227576
x47=−55.7632696012188x_{47} = -55.7632696012188
x48=22.776546738526x_{48} = 22.776546738526
x49=95.0331777710912x_{49} = 95.0331777710912
x50=−93.4623814442964x_{50} = -93.4623814442964
x51=−2.35619449019234x_{51} = -2.35619449019234
x52=−71.4712328691678x_{52} = -71.4712328691678
x53=−52.621676947629x_{53} = -52.621676947629
x54=−99.7455667514759x_{54} = -99.7455667514759
x55=66.7588438887831x_{55} = 66.7588438887831
x56=−18.0641577581413x_{56} = -18.0641577581413
x57=0.785398163397448x_{57} = 0.785398163397448
x58=91.8915851175014x_{58} = 91.8915851175014
x59=−36.9137136796801x_{59} = -36.9137136796801
x60=−80.8960108299372x_{60} = -80.8960108299372
x61=101.316363078271x_{61} = 101.316363078271
x62=−87.1791961371168x_{62} = -87.1791961371168
x63=82.4668071567321x_{63} = 82.4668071567321
x64=−21.2057504117311x_{64} = -21.2057504117311
x65=73.0420291959627x_{65} = 73.0420291959627
x66=16.4933614313464x_{66} = 16.4933614313464
x67=−77.7544181763474x_{67} = -77.7544181763474
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - sin(x).
−sin⁡(0)+cos⁡(0)- \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)−cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     ___ 
(----, \/ 2 )
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=sin⁡(x)+cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=−sin⁡(x)−cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)-sin(x)
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