Sr Examen

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sin(x/5)*exp(x/10)+5*exp(-x/2)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x/5)*exp(x/10)+5*exp(-x/2)

Gráfico de la función y = sin(x/5)*exp(x/10)+5*exp(-x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               x       -x 
               --      ---
          /x\  10       2 
f(x) = sin|-|*e   + 5*e   
          \5/
f(x)=ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} 
f = exp(x/10)*sin(x/5) + 5*exp((-x)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2=0e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=47.12388980386x_{1} = 47.12388980386
x2=15.7099783182129x_{2} = 15.7099783182129
x3=62.8318530717959x_{3} = 62.8318530717959
x4=31.4159263730876x_{4} = 31.4159263730876
x5=94.2477796076938x_{5} = 94.2477796076938
x6=78.5398163397448x_{6} = 78.5398163397448
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/5)*exp(x/10) + 5*exp((-x)/2).
e010sin⁡(05)+5e(−1)02e^{\frac{0}{10}} \sin{\left(\frac{0}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex10sin⁡(x5)10+ex10cos⁡(x5)5−5e(−1)x22=0\frac{e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{10} + \frac{e^{\frac{x}{10}} \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} - \frac{5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=10.0366504654957x_{1} = 10.0366504654957
x2=41.5881462140626x_{2} = 41.5881462140626
x3=4.13628869711526x_{3} = 4.13628869711526
x4=25.8801930313259x_{4} = 25.8801930313259
x5=104.419999286672x_{5} = 104.419999286672
x6=57.2961094828255x_{6} = 57.2961094828255
x7=73.0040727507744x_{7} = 73.0040727507744
x8=88.7120360187233x_{8} = 88.7120360187233
Signos de extremos en los puntos:
(10.036650465495661, 2.50549142012211)

(41.58814621406263, 57.2394213765675)

(4.13628869711526, 1.74526829033197)

(25.880193031325916, -11.8988946659813)

(104.41999928667231, 30651.2325117233)

(57.29610948282548, -275.348941809113)

(73.00407275077438, 1324.55985644549)

(88.71203601872334, -6371.76522916574)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4.13628869711526x_{1} = 4.13628869711526
x2=25.8801930313259x_{2} = 25.8801930313259
x3=57.2961094828255x_{3} = 57.2961094828255
x4=88.7120360187233x_{4} = 88.7120360187233
Puntos máximos de la función:
x4=10.0366504654957x_{4} = 10.0366504654957
x4=41.5881462140626x_{4} = 41.5881462140626
x4=104.419999286672x_{4} = 104.419999286672
x4=73.0040727507744x_{4} = 73.0040727507744
Decrece en los intervalos
[88.7120360187233,∞)\left[88.7120360187233, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4.13628869711526]\left(-\infty, 4.13628869711526\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3ex10sin⁡(x5)+4ex10cos⁡(x5)+125e−x2100=0\frac{- 3 e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 4 e^{\frac{x}{10}} \cos{\left(\frac{x}{5} \right)} + 125 e^{- \frac{x}{2}}}{100} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=98.8842556977019x_{1} = 98.8842556977019
x2=83.1762924297529x_{2} = 83.1762924297529
x3=67.4683291618039x_{3} = 67.4683291618039
x4=51.7603658938509x_{4} = 51.7603658938509
x5=6.8077298157896x_{5} = 6.8077298157896
x6=51.7603658938509x_{6} = 51.7603658938509
x7=20.3438144929722x_{7} = 20.3438144929722
x8=36.0524026763134x_{8} = 36.0524026763134

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[83.1762924297529,∞)\left[83.1762924297529, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,20.3438144929722]\left(-\infty, 20.3438144929722\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2)y = \lim_{x \to \infty}\left(e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/5)*exp(x/10) + 5*exp((-x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2=5ex2−e−x10sin⁡(x5)e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = 5 e^{\frac{x}{2}} - e^{- \frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}
- No
ex10sin⁡(x5)+5e(−1)x2=−5ex2+e−x10sin⁡(x5)e^{\frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)} + 5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} = - 5 e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{10}} \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x/5)*exp(x/10)+5*exp(-x/2)
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