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cos(x)-ln(cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)-ln(cos(x))

Gráfico de la función y = cos(x)-ln(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) - log(cos(x))
f(x)=−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} 
f = -log(cos(x)) + cos(x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)=0- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - log(cos(x)).
−log⁡(cos⁡(0))+cos⁡(0)- \log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡2(x)cos⁡2(x)−cos⁡(x)+1=0\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x))=⟨−1,1⟩−log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩−log⁡(⟨−1,1⟩)y = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞(−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x))=⟨−1,1⟩−log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩−log⁡(⟨−1,1⟩)y = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - log(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)=−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}
- Sí
−log⁡(cos⁡(x))+cos⁡(x)=log⁡(cos⁡(x))−cos⁡(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)-ln(cos(x))
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