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cos(x)-ln(cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)-ln(cos(x))

Gráfico de la función y = cos(x)-ln(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) - log(cos(x))
$$f{\left(x \right)} = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}$$ 
f = -log(cos(x)) + cos(x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - log(cos(x)).
$$- \log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)} + \cos{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle - \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - log(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)-ln(cos(x))
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