Sr Examen

Otras calculadoras

cosx+2cos^2x-1
Trazado el gráfico de la función/ cosx+2cos^2x-1

Gráfico de la función y = cosx+2cos^2x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2       
f(x) = cos(x) + 2*cos (x) - 1
f(x)=(2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1f{\left(x \right)} = \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 
f = 2*cos(x)^2 + cos(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1=0\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=πx_{2} = \pi
x3=5π3x_{3} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=82.7286065445312x_{1} = 82.7286065445312
x2=−97.3893724356252x_{2} = -97.3893724356252
x3=9.42477818680547x_{3} = 9.42477818680547
x4=−26.1799387799149x_{4} = -26.1799387799149
x5=−5.23598775598299x_{5} = -5.23598775598299
x6=65.9734457528689x_{6} = 65.9734457528689
x7=32.4631240870945x_{7} = 32.4631240870945
x8=−39867.8579716057x_{8} = -39867.8579716057
x9=−78.5398161151012x_{9} = -78.5398161151012
x10=−53.4070752795041x_{10} = -53.4070752795041
x11=−93.2005820564972x_{11} = -93.2005820564972
x12=−40.8407044128941x_{12} = -40.8407044128941
x13=40.8407042778045x_{13} = 40.8407042778045
x14=28.2743338652086x_{14} = 28.2743338652086
x15=26.1799387799149x_{15} = 26.1799387799149
x16=−28.2743337200245x_{16} = -28.2743337200245
x17=−9.42477812311019x_{17} = -9.42477812311019
x18=19.8967534727354x_{18} = 19.8967534727354
x19=91.1061868116125x_{19} = 91.1061868116125
x20=91.1061868861836x_{20} = 91.1061868861836
x21=−47.1238905036874x_{21} = -47.1238905036874
x22=47.1238898268985x_{22} = 47.1238898268985
x23=−7.33038285837618x_{23} = -7.33038285837618
x24=24.0855436775217x_{24} = 24.0855436775217
x25=−11.5191730631626x_{25} = -11.5191730631626
x26=91.1061869261407x_{26} = 91.1061869261407
x27=68.0678408277789x_{27} = 68.0678408277789
x28=55.5014702134197x_{28} = 55.5014702134197
x29=99.4837673636768x_{29} = 99.4837673636768
x30=36.6519142918809x_{30} = 36.6519142918809
x31=21.9911485973609x_{31} = 21.9911485973609
x32=−76.4454212373516x_{32} = -76.4454212373516
x33=−24.0855436775217x_{33} = -24.0855436775217
x34=−30.3687289847013x_{34} = -30.3687289847013
x35=−68.0678408277789x_{35} = -68.0678408277789
x36=−70.162235930172x_{36} = -70.162235930172
x37=61.7846555205993x_{37} = 61.7846555205993
x38=17.8023583703422x_{38} = 17.8023583703422
x39=34.5575190335478x_{39} = 34.5575190335478
x40=80.634211442138x_{40} = 80.634211442138
x41=38.7463093942741x_{41} = 38.7463093942741
x42=47.1238894268221x_{42} = 47.1238894268221
x43=−13.6135681655558x_{43} = -13.6135681655558
x44=−32.4631240870945x_{44} = -32.4631240870945
x45=−99.4837673636768x_{45} = -99.4837673636768
x46=−84.8230014829768x_{46} = -84.8230014829768
x47=57.5958653158129x_{47} = 57.5958653158129
x48=−40.8407047547408x_{48} = -40.8407047547408
x49=−34.5575189638817x_{49} = -34.5575189638817
x50=59.6902605931502x_{50} = 59.6902605931502
x51=84.8230014287926x_{51} = 84.8230014287926
x52=−59.690260457585x_{52} = -59.690260457585
x53=30.3687289847013x_{53} = 30.3687289847013
x54=3.14159276530697x_{54} = 3.14159276530697
x55=−95.2949771588904x_{55} = -95.2949771588904
x56=97.389372486408x_{56} = 97.389372486408
x57=47.1238897752019x_{57} = 47.1238897752019
x58=−17.8023583703422x_{58} = -17.8023583703422
x59=107.86134777325x_{59} = 107.86134777325
x60=−3.14159287255706x_{60} = -3.14159287255706
x61=15.7079634367135x_{61} = 15.7079634367135
x62=−65.9734457650482x_{62} = -65.9734457650482
x63=−91.1061871711313x_{63} = -91.1061871711313
x64=−47.1238900222279x_{64} = -47.1238900222279
x65=11.5191730631626x_{65} = 11.5191730631626
x66=−40.8407049942712x_{66} = -40.8407049942712
x67=−63.8790506229925x_{67} = -63.8790506229925
x68=−61.7846555205993x_{68} = -61.7846555205993
x69=63.8790506229925x_{69} = 63.8790506229925
x70=74.3510261349584x_{70} = 74.3510261349584
x71=91.1061863890352x_{71} = 91.1061863890352
x72=78.5398161904624x_{72} = 78.5398161904624
x73=−719.424718069224x_{73} = -719.424718069224
x74=−21.9911485864549x_{74} = -21.9911485864549
x75=3.14159271706432x_{75} = 3.14159271706432
x76=47.1238901206303x_{76} = 47.1238901206303
x77=53.4070753369186x_{77} = 53.4070753369186
x78=3.14159322994749x_{78} = 3.14159322994749
x79=−84.8230015251551x_{79} = -84.8230015251551
x80=−74.3510261349584x_{80} = -74.3510261349584
x81=−51.3126800086333x_{81} = -51.3126800086333
x82=−72.256630877064x_{82} = -72.256630877064
x83=13.6135681655558x_{83} = 13.6135681655558
x84=−57.5958653158129x_{84} = -57.5958653158129
x85=−19.8967534727354x_{85} = -19.8967534727354
x86=72.2566310277195x_{86} = 72.2566310277195
x87=−40.8407044009017x_{87} = -40.8407044009017
x88=−55.5014702134197x_{88} = -55.5014702134197
x89=−84.8230022421807x_{89} = -84.8230022421807
x90=−646.120889088301x_{90} = -646.120889088301
x91=76.4454212373516x_{91} = 76.4454212373516
x92=−15.7079632965016x_{92} = -15.7079632965016
x93=−49.2182849062401x_{93} = -49.2182849062401
x94=21.9911485851931x_{94} = 21.9911485851931
x95=3.14159267447126x_{95} = 3.14159267447126
x96=70.162235930172x_{96} = 70.162235930172
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + 2*cos(x)^2 - 1.
−1+(cos⁡(0)+2cos⁡2(0))-1 + \left(\cos{\left(0 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(153)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}
x3=2atan⁡(153)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

        /  ____\             /      /  ____\\      /      /  ____\\ 
        |\/ 15 |            2|      |\/ 15 ||      |      |\/ 15 || 
(-2*atan|------|, -1 + 2*cos |2*atan|------|| + cos|2*atan|------||)
        \  3   /             \      \  3   //      \      \  3   // 

       /  ____\             /      /  ____\\      /      /  ____\\ 
       |\/ 15 |            2|      |\/ 15 ||      |      |\/ 15 || 
(2*atan|------|, -1 + 2*cos |2*atan|------|| + cos|2*atan|------||)
       \  3   /             \      \  3   //      \      \  3   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(153)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(153)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−2atan⁡(153),0]∪[2atan⁡(153),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}, 0\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(153)]∪[0,2atan⁡(153)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}\right] \cup \left[0, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{3} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4sin⁡2(x)−4cos⁡2(x)−cos⁡(x)=04 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(312−1293)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(312−1293)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}
x3=−2atan⁡(3129+123)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}
x4=2atan⁡(3129+123)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(3129+123),−2atan⁡(312−1293)]∪[2atan⁡(312−1293),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{12 - \sqrt{129}}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(3129+123)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{129} + 12}}{3} \right)}\right]
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + 2*cos(x)^2 - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1=(2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1
- Sí
(2cos⁡2(x)+cos⁡(x))−1=(−2cos⁡2(x)−cos⁡(x))+1\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = \left(- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) + 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cosx+2cos^2x-1
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