Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cosx^3*sinx^2

Gráfico de la función y = cosx^3*sinx^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3       2   
f(x) = cos (x)*sin (x)
f(x)=sin⁡2(x)cos⁡3(x)f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^2*cos(x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)cos⁡3(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−14.1371272255815x_{1} = -14.1371272255815
x2=−80.1106490565312x_{2} = -80.1106490565312
x3=4.71231564338229x_{3} = 4.71231564338229
x4=64.4026131713472x_{4} = 64.4026131713472
x5=78.5398163268931x_{5} = 78.5398163268931
x6=51.8363242488531x_{6} = 51.8363242488531
x7=−48.6946602258039x_{7} = -48.6946602258039
x8=94.2477796093534x_{8} = 94.2477796093534
x9=−75.3982237395158x_{9} = -75.3982237395158
x10=−72.2566309296419x_{10} = -72.2566309296419
x11=−97.3893723022695x_{11} = -97.3893723022695
x12=−23.5619881304668x_{12} = -23.5619881304668
x13=−61.2611291321731x_{13} = -61.2611291321731
x14=−42.4114253382799x_{14} = -42.4114253382799
x15=−36.1282778377185x_{15} = -36.1282778377185
x16=−31.4159266074686x_{16} = -31.4159266074686
x17=26.7034641723409x_{17} = 26.7034641723409
x18=15.7079633632998x_{18} = 15.7079633632998
x19=−89.5354387351289x_{19} = -89.5354387351289
x20=−92.6770356703397x_{20} = -92.6770356703397
x21=−21.9911485865142x_{21} = -21.9911485865142
x22=89.5354658079625x_{22} = 89.5354658079625
x23=−39.269981024178x_{23} = -39.269981024178
x24=43.9822971691864x_{24} = 43.9822971691864
x25=−9.42477803896276x_{25} = -9.42477803896276
x26=32.9867649565533x_{26} = 32.9867649565533
x27=23.5620206698711x_{27} = 23.5620206698711
x28=−64.4025741733373x_{28} = -64.4025741733373
x29=78.5398162459308x_{29} = 78.5398162459308
x30=36.1283177539026x_{30} = 36.1283177539026
x31=29.8451738159376x_{31} = 29.8451738159376
x32=73.8274746252028x_{32} = 73.8274746252028
x33=42.4114627937808x_{33} = 42.4114627937808
x34=−7.85396955947412x_{34} = -7.85396955947412
x35=18.8495556024634x_{35} = 18.8495556024634
x36=−58.1194285135007x_{36} = -58.1194285135007
x37=0x_{37} = 0
x38=−65.9734457655898x_{38} = -65.9734457655898
x39=−50.2654823556953x_{39} = -50.2654823556953
x40=58.1194603847139x_{40} = 58.1194603847139
x41=−28.2743337821869x_{41} = -28.2743337821869
x42=−15.7079632960591x_{42} = -15.7079632960591
x43=45.5531691555499x_{43} = 45.5531691555499
x44=−37.6991118764303x_{44} = -37.6991118764303
x45=67.5443175378761x_{45} = 67.5443175378761
x46=34.5575191016634x_{46} = 34.5575191016634
x47=72.2566310277278x_{47} = 72.2566310277278
x48=6.28318528452628x_{48} = 6.28318528452628
x49=86.3937635832578x_{49} = 86.3937635832578
x50=87.9645943348156x_{50} = 87.9645943348156
x51=−81.6814090365699x_{51} = -81.6814090365699
x52=−87.964594359767x_{52} = -87.964594359767
x53=−70.6858487447222x_{53} = -70.6858487447222
x54=−45.5531383680483x_{54} = -45.5531383680483
x55=−86.3937230840945x_{55} = -86.3937230840945
x56=100.530964819117x_{56} = 100.530964819117
x57=56.5486676734114x_{57} = 56.5486676734114
x58=−6.28318520916728x_{58} = -6.28318520916728
x59=−67.5442885697526x_{59} = -67.5442885697526
x60=37.6991119351332x_{60} = 37.6991119351332
x61=36.1283233694706x_{61} = 36.1283233694706
x62=−83.2522770640137x_{62} = -83.2522770640137
x63=65.9734457523623x_{63} = 65.9734457523623
x64=−102.101817278913x_{64} = -102.101817278913
x65=−94.2477795039866x_{65} = -94.2477795039866
x66=1.57087208829682x_{66} = 1.57087208829682
x67=7.85405044412855x_{67} = 7.85405044412855
x68=7.85402332501152x_{68} = 7.85402332501152
x69=15.7079635268765x_{69} = 15.7079635268765
x70=21.9911485851354x_{70} = 21.9911485851354
x71=92.6769104036543x_{71} = 92.6769104036543
x72=−53.4070751744339x_{72} = -53.4070751744339
x73=59.6902605062298x_{73} = 59.6902605062298
x74=−70.6858462821773x_{74} = -70.6858462821773
x75=−17.2788327601017x_{75} = -17.2788327601017
x76=1.57070427375994x_{76} = 1.57070427375994
x77=−26.7035262892413x_{77} = -26.7035262892413
x78=50.2654824463996x_{78} = 50.2654824463996
x79=81.6814090764569x_{79} = 81.6814090764569
x80=−73.8274111307208x_{80} = -73.8274111307208
x81=−29.8451154028134x_{81} = -29.8451154028134
x82=98.9602237014423x_{82} = 98.9602237014423
x83=−59.6902604565978x_{83} = -59.6902604565978
x84=20.4203124507758x_{84} = 20.4203124507758
x85=14.1371747212979x_{85} = 14.1371747212979
x86=−95.8185604055621x_{86} = -95.8185604055621
x87=−20.4202765828729x_{87} = -20.4202765828729
x88=95.81862494623x_{88} = 95.81862494623
x89=12.5663705308173x_{89} = 12.5663705308173
x90=−51.8362626928768x_{90} = -51.8362626928768
x91=−43.9822971748327x_{91} = -43.9822971748327
x92=70.68576156164x_{92} = 70.68576156164
x93=36.1284136121077x_{93} = 36.1284136121077
x94=50.2654822603092x_{94} = 50.2654822603092
x95=−80.1105792552503x_{95} = -80.1105792552503
x96=80.1106036641851x_{96} = 80.1106036641851
x97=−1.57083785740818x_{97} = -1.57083785740818
x98=48.6946128150613x_{98} = 48.6946128150613
x99=28.2743338653399x_{99} = 28.2743338653399
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^3*sin(x)^2.
sin⁡2(0)cos⁡3(0)\sin^{2}{\left(0 \right)} \cos^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡3(x)cos⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡4(x)=0- 3 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=−2atan⁡(4−15)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 - \sqrt{15}} \right)}
x5=2atan⁡(4−15)x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 - \sqrt{15}} \right)}
x6=−2atan⁡(15+4)x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{15} + 4} \right)}
x7=2atan⁡(15+4)x_{7} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{15} + 4} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2     

        /   ____________\      /      /   ____________\\     /      /   ____________\\ 
        |  /       ____ |     3|      |  /       ____ ||    2|      |  /       ____ || 
(-2*atan\\/  4 - \/ 15  /, cos \2*atan\\/  4 - \/ 15  //*sin \2*atan\\/  4 - \/ 15  //)

       /   ____________\      /      /   ____________\\     /      /   ____________\\ 
       |  /       ____ |     3|      |  /       ____ ||    2|      |  /       ____ || 
(2*atan\\/  4 - \/ 15  /, cos \2*atan\\/  4 - \/ 15  //*sin \2*atan\\/  4 - \/ 15  //)

        /   ____________\      /      /   ____________\\     /      /   ____________\\ 
        |  /       ____ |     3|      |  /       ____ ||    2|      |  /       ____ || 
(-2*atan\\/  4 + \/ 15  /, cos \2*atan\\/  4 + \/ 15  //*sin \2*atan\\/  4 + \/ 15  //)

       /   ____________\      /      /   ____________\\     /      /   ____________\\ 
       |  /       ____ |     3|      |  /       ____ ||    2|      |  /       ____ || 
(2*atan\\/  4 + \/ 15  /, cos \2*atan\\/  4 + \/ 15  //*sin \2*atan\\/  4 + \/ 15  //)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(15+4)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{15} + 4} \right)}
x3=2atan⁡(15+4)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{15} + 4} \right)}
Puntos máximos de la función:
x3=−2atan⁡(4−15)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 - \sqrt{15}} \right)}
x3=2atan⁡(4−15)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 - \sqrt{15}} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(15+4),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{15} + 4} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(15+4)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{15} + 4} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cos⁡2(x)+3(2sin⁡2(x)−cos⁡2(x))sin⁡2(x)−12sin⁡2(x)cos⁡2(x))cos⁡(x)=0\left(- 2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} - 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−2atan⁡(2−241−2299−19241+192)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{241} - \sqrt{2} \sqrt{299 - 19 \sqrt{241}} + 19}}{2} \right)}
x4=2atan⁡(2−241−2299−19241+192)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{241} - \sqrt{2} \sqrt{299 - 19 \sqrt{241}} + 19}}{2} \right)}
x5=−2atan⁡(2−241+2299−19241+192)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{241} + \sqrt{2} \sqrt{299 - 19 \sqrt{241}} + 19}}{2} \right)}
x6=2atan⁡(2−241+2299−19241+192)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{241} + \sqrt{2} \sqrt{299 - 19 \sqrt{241}} + 19}}{2} \right)}
x7=−2atan⁡(2241+19+219241+2992)x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{241} + 19 + \sqrt{2} \sqrt{19 \sqrt{241} + 299}}}{2} \right)}
x8=2atan⁡(2241+19+219241+2992)x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{241} + 19 + \sqrt{2} \sqrt{19 \sqrt{241} + 299}}}{2} \right)}
x9=−2atan⁡(2−219241+299+241+192)x_{9} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} \sqrt{19 \sqrt{241} + 299} + \sqrt{241} + 19}}{2} \right)}
x10=2atan⁡(2−219241+299+241+192)x_{10} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} \sqrt{19 \sqrt{241} + 299} + \sqrt{241} + 19}}{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(2−241+2299−19241+192),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{241} + \sqrt{2} \sqrt{299 - 19 \sqrt{241}} + 19}}{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(2241+19+219241+2992)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{241} + 19 + \sqrt{2} \sqrt{19 \sqrt{241} + 299}}}{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)cos⁡3(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)cos⁡3(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^3*sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)cos⁡3(x)=sin⁡2(x)cos⁡3(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}
- Sí
sin⁡2(x)cos⁡3(x)=−sin⁡2(x)cos⁡3(x)\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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