Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4/(1+x)^3
-
x/2
-
-x+1
-
|x|
- Integral de d{x}:
- cosx/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- cosx/(x^ dos + uno)
- coseno de x dividir por (x al cuadrado más 1)
- coseno de x dividir por (x en el grado dos más uno)
- cosx/(x2+1)
- cosx/x2+1
- cosx/(x²+1)
- cosx/(x en el grado 2+1)
- cosx/x^2+1
- cosx dividir por (x^2+1)
-
Expresiones semejantes
- cosx/(x^2-1)
-
Expresiones con funciones
- cosx
- cosx+x^2
- cosx−(sqrt(cosx))^2
- cosx/2
- cosx/cos2x
- cosx*1/2cos2x
Gráfico de la función y = cosx/(x^2+1)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(x)
f(x) = ------
2
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
f = cos(x)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.71238898038469$$
$$x_{2} = 17.2787595947439$$
$$x_{3} = -89.5353906273091$$
$$x_{4} = 64.4026493985908$$
$$x_{5} = 70.6858347057703$$
$$x_{6} = 36.1283155162826$$
$$x_{7} = -98.9601685880785$$
$$x_{8} = 48.6946861306418$$
$$x_{9} = -58.1194640914112$$
$$x_{10} = 7.85398163397448$$
$$x_{11} = 39.2699081698724$$
$$x_{12} = -95.8185759344887$$
$$x_{13} = -1.5707963267949$$
$$x_{14} = -92.6769832808989$$
$$x_{15} = -23.5619449019235$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = 61.261056745001$$
$$x_{18} = -177.499984927823$$
$$x_{19} = 29.845130209103$$
$$x_{20} = -32.9867228626928$$
$$x_{21} = -51.8362787842316$$
$$x_{22} = -80.1106126665397$$
$$x_{23} = -83.2522053201295$$
$$x_{24} = 67.5442420521806$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = 92.6769832808989$$
$$x_{27} = -39.2699081698724$$
$$x_{28} = 86.3937979737193$$
$$x_{29} = 45.553093477052$$
$$x_{30} = -306.305283725005$$
$$x_{31} = -67.5442420521806$$
$$x_{32} = 51.8362787842316$$
$$x_{33} = 76.9690200129499$$
$$x_{34} = -26.7035375555132$$
$$x_{35} = -4.71238898038469$$
$$x_{36} = 95.8185759344887$$
$$x_{37} = 108.384946548848$$
$$x_{38} = -86.3937979737193$$
$$x_{39} = -10.9955742875643$$
$$x_{40} = 83.2522053201295$$
$$x_{41} = -7.85398163397448$$
$$x_{42} = -36.1283155162826$$
$$x_{43} = -17.2787595947439$$
$$x_{44} = -14.1371669411541$$
$$x_{45} = 54.9778714378214$$
$$x_{46} = 20.4203522483337$$
$$x_{47} = -70.6858347057703$$
$$x_{48} = -48.6946861306418$$
$$x_{49} = -54.9778714378214$$
$$x_{50} = -45.553093477052$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -73.8274273593601$$
$$x_{53} = 26.7035375555132$$
$$x_{54} = 89.5353906273091$$
$$x_{55} = 10.9955742875643$$
$$x_{56} = 80.1106126665397$$
$$x_{57} = 73.8274273593601$$
$$x_{58} = 58.1194640914112$$
$$x_{59} = -61.261056745001$$
$$x_{60} = 1.5707963267949$$
$$x_{61} = -20.4203522483337$$
$$x_{62} = -42.4115008234622$$
$$x_{63} = 32.9867228626928$$
$$x_{64} = 42.4115008234622$$
$$x_{65} = -76.9690200129499$$
$$x_{66} = -64.4026493985908$$
$$x_{67} = -29.845130209103$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.71238898038469$$
$$x_{2} = 17.2787595947439$$
$$x_{3} = -89.5353906273091$$
$$x_{4} = 64.4026493985908$$
$$x_{5} = 70.6858347057703$$
$$x_{6} = 36.1283155162826$$
$$x_{7} = -98.9601685880785$$
$$x_{8} = 48.6946861306418$$
$$x_{9} = -58.1194640914112$$
$$x_{10} = 7.85398163397448$$
$$x_{11} = 39.2699081698724$$
$$x_{12} = -95.8185759344887$$
$$x_{13} = -1.5707963267949$$
$$x_{14} = -92.6769832808989$$
$$x_{15} = -23.5619449019235$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = 61.261056745001$$
$$x_{18} = -177.499984927823$$
$$x_{19} = 29.845130209103$$
$$x_{20} = -32.9867228626928$$
$$x_{21} = -51.8362787842316$$
$$x_{22} = -80.1106126665397$$
$$x_{23} = -83.2522053201295$$
$$x_{24} = 67.5442420521806$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = 92.6769832808989$$
$$x_{27} = -39.2699081698724$$
$$x_{28} = 86.3937979737193$$
$$x_{29} = 45.553093477052$$
$$x_{30} = -306.305283725005$$
$$x_{31} = -67.5442420521806$$
$$x_{32} = 51.8362787842316$$
$$x_{33} = 76.9690200129499$$
$$x_{34} = -26.7035375555132$$
$$x_{35} = -4.71238898038469$$
$$x_{36} = 95.8185759344887$$
$$x_{37} = 108.384946548848$$
$$x_{38} = -86.3937979737193$$
$$x_{39} = -10.9955742875643$$
$$x_{40} = 83.2522053201295$$
$$x_{41} = -7.85398163397448$$
$$x_{42} = -36.1283155162826$$
$$x_{43} = -17.2787595947439$$
$$x_{44} = -14.1371669411541$$
$$x_{45} = 54.9778714378214$$
$$x_{46} = 20.4203522483337$$
$$x_{47} = -70.6858347057703$$
$$x_{48} = -48.6946861306418$$
$$x_{49} = -54.9778714378214$$
$$x_{50} = -45.553093477052$$
$$x_{51} = 14.1371669411541$$
$$x_{52} = -73.8274273593601$$
$$x_{53} = 26.7035375555132$$
$$x_{54} = 89.5353906273091$$
$$x_{55} = 10.9955742875643$$
$$x_{56} = 80.1106126665397$$
$$x_{57} = 73.8274273593601$$
$$x_{58} = 58.1194640914112$$
$$x_{59} = -61.261056745001$$
$$x_{60} = 1.5707963267949$$
$$x_{61} = -20.4203522483337$$
$$x_{62} = -42.4115008234622$$
$$x_{63} = 32.9867228626928$$
$$x_{64} = 42.4115008234622$$
$$x_{65} = -76.9690200129499$$
$$x_{66} = -64.4026493985908$$
$$x_{67} = -29.845130209103$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.54373214752609$$
$$x_{2} = -94.2265597456126$$
$$x_{3} = 50.2256989863186$$
$$x_{4} = 37.6460727029451$$
$$x_{5} = -21.9002665401996$$
$$x_{6} = -15.5808165061202$$
$$x_{7} = 0$$
$$x_{8} = 9.21343494397267$$
$$x_{9} = -37.6460727029451$$
$$x_{10} = 53.3696312768345$$
$$x_{11} = -56.513303694752$$
$$x_{12} = -84.7994242303256$$
$$x_{13} = 94.2265597456126$$
$$x_{14} = -5.96808139239822$$
$$x_{15} = 12.4075674897868$$
$$x_{16} = 25.0532062442974$$
$$x_{17} = -53.3696312768345$$
$$x_{18} = 78.5143529265667$$
$$x_{19} = 72.2289536816917$$
$$x_{20} = -25.0532062442974$$
$$x_{21} = -106.7954266585$$
$$x_{22} = -34.4996609189666$$
$$x_{23} = 15.5808165061202$$
$$x_{24} = -87.9418588604656$$
$$x_{25} = 87.9418588604656$$
$$x_{26} = 97.3688368618863$$
$$x_{27} = -75.3716994196716$$
$$x_{28} = -100.511071203627$$
$$x_{29} = -62.8000247758447$$
$$x_{30} = -43.9368321750172$$
$$x_{31} = 31.3522862210969$$
$$x_{32} = -65.9431328237524$$
$$x_{33} = 163.350575451696$$
$$x_{34} = -47.0814548776037$$
$$x_{35} = 21.9002665401996$$
$$x_{36} = -103.653266658919$$
$$x_{37} = 100.511071203627$$
$$x_{38} = -91.0842354305333$$
$$x_{39} = -97.3688368618863$$
$$x_{40} = 84.7994242303256$$
$$x_{41} = 2.54373214752609$$
$$x_{42} = -81.6569248421486$$
$$x_{43} = 47.0814548776037$$
$$x_{44} = 43.9368321750172$$
$$x_{45} = 69.0861031389786$$
$$x_{46} = 34.4996609189666$$
$$x_{47} = 18.7435542483014$$
$$x_{48} = -122.505790268738$$
$$x_{49} = 75.3716994196716$$
$$x_{50} = -69.0861031389786$$
$$x_{51} = 65.9431328237524$$
$$x_{52} = 62.8000247758447$$
$$x_{53} = 56.513303694752$$
$$x_{54} = 40.7917435749351$$
$$x_{55} = -31.3522862210969$$
$$x_{56} = -78.5143529265667$$
$$x_{57} = -40.7917435749351$$
$$x_{58} = -9.21343494397267$$
$$x_{59} = -72.2289536816917$$
$$x_{60} = -113.079652107775$$
$$x_{61} = 81.6569248421486$$
$$x_{62} = 5.96808139239822$$
$$x_{63} = 91.0842354305333$$
$$x_{64} = -12.4075674897868$$
$$x_{65} = -59.656757255627$$
$$x_{66} = -50.2256989863186$$
$$x_{67} = 59.656757255627$$
$$x_{68} = -18.7435542483014$$
$$x_{69} = -210.477206074369$$
$$x_{70} = -28.203628119338$$
$$x_{71} = 28.203628119338$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2.54373214752609$$
$$x_{2} = -21.9002665401996$$
$$x_{3} = -15.5808165061202$$
$$x_{4} = 9.21343494397267$$
$$x_{5} = 53.3696312768345$$
$$x_{6} = -84.7994242303256$$
$$x_{7} = -53.3696312768345$$
$$x_{8} = 78.5143529265667$$
$$x_{9} = 72.2289536816917$$
$$x_{10} = -34.4996609189666$$
$$x_{11} = 15.5808165061202$$
$$x_{12} = 97.3688368618863$$
$$x_{13} = -65.9431328237524$$
$$x_{14} = -47.0814548776037$$
$$x_{15} = 21.9002665401996$$
$$x_{16} = -103.653266658919$$
$$x_{17} = -91.0842354305333$$
$$x_{18} = -97.3688368618863$$
$$x_{19} = 84.7994242303256$$
$$x_{20} = 2.54373214752609$$
$$x_{21} = 47.0814548776037$$
$$x_{22} = 34.4996609189666$$
$$x_{23} = -122.505790268738$$
$$x_{24} = 65.9431328237524$$
$$x_{25} = 40.7917435749351$$
$$x_{26} = -78.5143529265667$$
$$x_{27} = -40.7917435749351$$
$$x_{28} = -9.21343494397267$$
$$x_{29} = -72.2289536816917$$
$$x_{30} = 91.0842354305333$$
$$x_{31} = -59.656757255627$$
$$x_{32} = 59.656757255627$$
$$x_{33} = -210.477206074369$$
$$x_{34} = -28.203628119338$$
$$x_{35} = 28.203628119338$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = -94.2265597456126$$
$$x_{35} = 50.2256989863186$$
$$x_{35} = 37.6460727029451$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{35} = -37.6460727029451$$
$$x_{35} = -56.513303694752$$
$$x_{35} = 94.2265597456126$$
$$x_{35} = -5.96808139239822$$
$$x_{35} = 12.4075674897868$$
$$x_{35} = 25.0532062442974$$
$$x_{35} = -25.0532062442974$$
$$x_{35} = -106.7954266585$$
$$x_{35} = -87.9418588604656$$
$$x_{35} = 87.9418588604656$$
$$x_{35} = -75.3716994196716$$
$$x_{35} = -100.511071203627$$
$$x_{35} = -62.8000247758447$$
$$x_{35} = -43.9368321750172$$
$$x_{35} = 31.3522862210969$$
$$x_{35} = 163.350575451696$$
$$x_{35} = 100.511071203627$$
$$x_{35} = -81.6569248421486$$
$$x_{35} = 43.9368321750172$$
$$x_{35} = 69.0861031389786$$
$$x_{35} = 18.7435542483014$$
$$x_{35} = 75.3716994196716$$
$$x_{35} = -69.0861031389786$$
$$x_{35} = 62.8000247758447$$
$$x_{35} = 56.513303694752$$
$$x_{35} = -31.3522862210969$$
$$x_{35} = -113.079652107775$$
$$x_{35} = 81.6569248421486$$
$$x_{35} = 5.96808139239822$$
$$x_{35} = -12.4075674897868$$
$$x_{35} = -50.2256989863186$$
$$x_{35} = -18.7435542483014$$
Decrece en los intervalos
$$\left[97.3688368618863, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -210.477206074369\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \cos{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.54373214752609$$
$$x_{2} = -94.2265597456126$$
$$x_{3} = 50.2256989863186$$
$$x_{4} = 37.6460727029451$$
$$x_{5} = -21.9002665401996$$
$$x_{6} = -15.5808165061202$$
$$x_{7} = 0$$
$$x_{8} = 9.21343494397267$$
$$x_{9} = -37.6460727029451$$
$$x_{10} = 53.3696312768345$$
$$x_{11} = -56.513303694752$$
$$x_{12} = -84.7994242303256$$
$$x_{13} = 94.2265597456126$$
$$x_{14} = -5.96808139239822$$
$$x_{15} = 12.4075674897868$$
$$x_{16} = 25.0532062442974$$
$$x_{17} = -53.3696312768345$$
$$x_{18} = 78.5143529265667$$
$$x_{19} = 72.2289536816917$$
$$x_{20} = -25.0532062442974$$
$$x_{21} = -106.7954266585$$
$$x_{22} = -34.4996609189666$$
$$x_{23} = 15.5808165061202$$
$$x_{24} = -87.9418588604656$$
$$x_{25} = 87.9418588604656$$
$$x_{26} = 97.3688368618863$$
$$x_{27} = -75.3716994196716$$
$$x_{28} = -100.511071203627$$
$$x_{29} = -62.8000247758447$$
$$x_{30} = -43.9368321750172$$
$$x_{31} = 31.3522862210969$$
$$x_{32} = -65.9431328237524$$
$$x_{33} = 163.350575451696$$
$$x_{34} = -47.0814548776037$$
$$x_{35} = 21.9002665401996$$
$$x_{36} = -103.653266658919$$
$$x_{37} = 100.511071203627$$
$$x_{38} = -91.0842354305333$$
$$x_{39} = -97.3688368618863$$
$$x_{40} = 84.7994242303256$$
$$x_{41} = 2.54373214752609$$
$$x_{42} = -81.6569248421486$$
$$x_{43} = 47.0814548776037$$
$$x_{44} = 43.9368321750172$$
$$x_{45} = 69.0861031389786$$
$$x_{46} = 34.4996609189666$$
$$x_{47} = 18.7435542483014$$
$$x_{48} = -122.505790268738$$
$$x_{49} = 75.3716994196716$$
$$x_{50} = -69.0861031389786$$
$$x_{51} = 65.9431328237524$$
$$x_{52} = 62.8000247758447$$
$$x_{53} = 56.513303694752$$
$$x_{54} = 40.7917435749351$$
$$x_{55} = -31.3522862210969$$
$$x_{56} = -78.5143529265667$$
$$x_{57} = -40.7917435749351$$
$$x_{58} = -9.21343494397267$$
$$x_{59} = -72.2289536816917$$
$$x_{60} = -113.079652107775$$
$$x_{61} = 81.6569248421486$$
$$x_{62} = 5.96808139239822$$
$$x_{63} = 91.0842354305333$$
$$x_{64} = -12.4075674897868$$
$$x_{65} = -59.656757255627$$
$$x_{66} = -50.2256989863186$$
$$x_{67} = 59.656757255627$$
$$x_{68} = -18.7435542483014$$
$$x_{69} = -210.477206074369$$
$$x_{70} = -28.203628119338$$
$$x_{71} = 28.203628119338$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2.5437321475260917, -0.110639672191836)
(-94.22655974561256, 0.000112591766511704)
(50.22569898631863, 0.000395942499274958)
(37.64607270294512, 0.000704114293701762)
(-21.90026654019963, -0.00207205193264381)
(-15.580816506120234, -0.00406924940329345)
(0, 1)
(9.213434943972674, -0.011384094242491)
(-37.64607270294512, 0.000704114293701762)
(53.36963127683454, -0.000350715231486932)
(-56.51330369475196, 0.000312817485971633)
(-84.79942423032556, -0.00013900585084881)
(94.22655974561256, 0.000112591766511704)
(-5.968081392398221, 0.0259643971802455)
(12.40756748978677, 0.00637258289495849)
(25.053206244297428, 0.00158564848443144)
(-53.36963127683454, -0.000350715231486932)
(78.51435292656672, -0.000162140173318783)
(72.22895368169175, -0.000191570111140939)
(-25.053206244297428, 0.00158564848443144)
(-106.79542665849998, 8.76557646972633e-5)
(-34.49966091896661, -0.000838066136358659)
(15.580816506120234, -0.00406924940329345)
(-87.94185886046559, 0.0001292529049009)
(87.94185886046559, 0.0001292529049009)
(97.3688368618863, -0.000105444189250915)
(-75.37169941967161, 0.00017593577340359)
(-100.51107120362654, 9.89562584809543e-5)
(-62.80002477584475, 0.000253367116057383)
(-43.936832175017194, 0.000517212000046997)
(31.352286221096882, 0.00101423808278872)
(-65.94313282375245, -0.000229806033389755)
(163.35057545169616, 3.74722559859326e-5)
(-47.08145487760369, -0.000450519125938963)
(21.90026654019963, -0.00207205193264381)
(-103.65326665891925, -9.30492289536518e-5)
(100.51107120362654, 9.89562584809543e-5)
(-91.08423543053327, -0.000120491545810595)
(-97.3688368618863, -0.000105444189250915)
(84.79942423032556, -0.00013900585084881)
(2.5437321475260917, -0.110639672191836)
(-81.6569248421486, 0.000149905871666022)
(47.08145487760369, -0.000450519125938963)
(43.936832175017194, 0.000517212000046997)
(69.0861031389786, 0.000209385109224912)
(34.49966091896661, -0.000838066136358659)
(18.7435542483014, 0.00282239086745388)
(-122.50579026873812, -6.66192853304118e-5)
(75.37169941967161, 0.00017593577340359)
(-69.0861031389786, 0.000209385109224912)
(65.94313282375245, -0.000229806033389755)
(62.80002477584475, 0.000253367116057383)
(56.51330369475196, 0.000312817485971633)
(40.79174357493512, -0.000599892999132703)
(-31.352286221096882, 0.00101423808278872)
(-78.51435292656672, -0.000162140173318783)
(-40.79174357493512, -0.000599892999132703)
(-9.213434943972674, -0.011384094242491)
(-72.22895368169175, -0.000191570111140939)
(-113.07965210777498, 7.81860375912636e-5)
(81.6569248421486, 0.000149905871666022)
(5.968081392398221, 0.0259643971802455)
(91.08423543053327, -0.000120491545810595)
(-12.40756748978677, 0.00637258289495849)
(-59.65675725562702, -0.000280746865913829)
(-50.22569898631863, 0.000395942499274958)
(59.65675725562702, -0.000280746865913829)
(-18.7435542483014, 0.00282239086745388)
(-210.47720607436906, -2.25715015693393e-5)
(-28.203628119338006, -0.00125244284383629)
(28.203628119338006, -0.00125244284383629)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2.54373214752609$$
$$x_{2} = -21.9002665401996$$
$$x_{3} = -15.5808165061202$$
$$x_{4} = 9.21343494397267$$
$$x_{5} = 53.3696312768345$$
$$x_{6} = -84.7994242303256$$
$$x_{7} = -53.3696312768345$$
$$x_{8} = 78.5143529265667$$
$$x_{9} = 72.2289536816917$$
$$x_{10} = -34.4996609189666$$
$$x_{11} = 15.5808165061202$$
$$x_{12} = 97.3688368618863$$
$$x_{13} = -65.9431328237524$$
$$x_{14} = -47.0814548776037$$
$$x_{15} = 21.9002665401996$$
$$x_{16} = -103.653266658919$$
$$x_{17} = -91.0842354305333$$
$$x_{18} = -97.3688368618863$$
$$x_{19} = 84.7994242303256$$
$$x_{20} = 2.54373214752609$$
$$x_{21} = 47.0814548776037$$
$$x_{22} = 34.4996609189666$$
$$x_{23} = -122.505790268738$$
$$x_{24} = 65.9431328237524$$
$$x_{25} = 40.7917435749351$$
$$x_{26} = -78.5143529265667$$
$$x_{27} = -40.7917435749351$$
$$x_{28} = -9.21343494397267$$
$$x_{29} = -72.2289536816917$$
$$x_{30} = 91.0842354305333$$
$$x_{31} = -59.656757255627$$
$$x_{32} = 59.656757255627$$
$$x_{33} = -210.477206074369$$
$$x_{34} = -28.203628119338$$
$$x_{35} = 28.203628119338$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{35} = -94.2265597456126$$
$$x_{35} = 50.2256989863186$$
$$x_{35} = 37.6460727029451$$
$$x_{35} = 0$$
$$x_{35} = -37.6460727029451$$
$$x_{35} = -56.513303694752$$
$$x_{35} = 94.2265597456126$$
$$x_{35} = -5.96808139239822$$
$$x_{35} = 12.4075674897868$$
$$x_{35} = 25.0532062442974$$
$$x_{35} = -25.0532062442974$$
$$x_{35} = -106.7954266585$$
$$x_{35} = -87.9418588604656$$
$$x_{35} = 87.9418588604656$$
$$x_{35} = -75.3716994196716$$
$$x_{35} = -100.511071203627$$
$$x_{35} = -62.8000247758447$$
$$x_{35} = -43.9368321750172$$
$$x_{35} = 31.3522862210969$$
$$x_{35} = 163.350575451696$$
$$x_{35} = 100.511071203627$$
$$x_{35} = -81.6569248421486$$
$$x_{35} = 43.9368321750172$$
$$x_{35} = 69.0861031389786$$
$$x_{35} = 18.7435542483014$$
$$x_{35} = 75.3716994196716$$
$$x_{35} = -69.0861031389786$$
$$x_{35} = 62.8000247758447$$
$$x_{35} = 56.513303694752$$
$$x_{35} = -31.3522862210969$$
$$x_{35} = -113.079652107775$$
$$x_{35} = 81.6569248421486$$
$$x_{35} = 5.96808139239822$$
$$x_{35} = -12.4075674897868$$
$$x_{35} = -50.2256989863186$$
$$x_{35} = -18.7435542483014$$
Decrece en los intervalos
$$\left[97.3688368618863, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -210.477206074369\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -51.7590072918019$$
$$x_{2} = 32.8650518133113$$
$$x_{3} = -17.0443794915286$$
$$x_{4} = -7.31236957667153$$
$$x_{5} = 149.198841587983$$
$$x_{6} = -54.9050265131646$$
$$x_{7} = -76.9170188649185$$
$$x_{8} = -45.4651283904817$$
$$x_{9} = -73.7732104776975$$
$$x_{10} = 45.4651283904817$$
$$x_{11} = -83.2041331118179$$
$$x_{12} = -86.3474755966677$$
$$x_{13} = -168.051405007597$$
$$x_{14} = -39.1678061810769$$
$$x_{15} = 13.8489274699853$$
$$x_{16} = 20.2227299740537$$
$$x_{17} = 36.0172870463513$$
$$x_{18} = -89.4906951115164$$
$$x_{19} = 26.5529700363992$$
$$x_{20} = 86.3474755966677$$
$$x_{21} = 29.7105507660002$$
$$x_{22} = 3.69928083952331$$
$$x_{23} = -67.4849739703609$$
$$x_{24} = 10.6203828275874$$
$$x_{25} = -32.8650518133113$$
$$x_{26} = -26.5529700363992$$
$$x_{27} = 0.5599347473979$$
$$x_{28} = -13.8489274699853$$
$$x_{29} = 58.0505655345866$$
$$x_{30} = 61.1956985466846$$
$$x_{31} = 114.633238850285$$
$$x_{32} = -29.7105507660002$$
$$x_{33} = 17.0443794915286$$
$$x_{34} = -61.1956985466846$$
$$x_{35} = 95.7768136964885$$
$$x_{36} = -64.3404851927513$$
$$x_{37} = 23.3910501690508$$
$$x_{38} = -20.2227299740537$$
$$x_{39} = 64.3404851927513$$
$$x_{40} = 98.9197331449288$$
$$x_{41} = -10.6203828275874$$
$$x_{42} = 70.629204720493$$
$$x_{43} = 39.1678061810769$$
$$x_{44} = 76.9170188649185$$
$$x_{45} = 7.31236957667153$$
$$x_{46} = -70.629204720493$$
$$x_{47} = -42.316994092934$$
$$x_{48} = 48.612414402203$$
$$x_{49} = -92.6338041843149$$
$$x_{50} = -3.69928083952331$$
$$x_{51} = -23.3910501690508$$
$$x_{52} = 54.9050265131646$$
$$x_{53} = 463.376284124582$$
$$x_{54} = -98.9197331449288$$
$$x_{55} = 67.4849739703609$$
$$x_{56} = -95.7768136964885$$
$$x_{57} = 89.4906951115164$$
$$x_{58} = 51.7590072918019$$
$$x_{59} = -48.612414402203$$
$$x_{60} = 83.2041331118179$$
$$x_{61} = 42.316994092934$$
$$x_{62} = -80.0606531586329$$
$$x_{63} = 80.0606531586329$$
$$x_{64} = 73.7732104776975$$
$$x_{65} = -36.0172870463513$$
$$x_{66} = 92.6338041843149$$
$$x_{67} = -58.0505655345866$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[114.633238850285, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -168.051405007597\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{4 x \sin{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -51.7590072918019$$
$$x_{2} = 32.8650518133113$$
$$x_{3} = -17.0443794915286$$
$$x_{4} = -7.31236957667153$$
$$x_{5} = 149.198841587983$$
$$x_{6} = -54.9050265131646$$
$$x_{7} = -76.9170188649185$$
$$x_{8} = -45.4651283904817$$
$$x_{9} = -73.7732104776975$$
$$x_{10} = 45.4651283904817$$
$$x_{11} = -83.2041331118179$$
$$x_{12} = -86.3474755966677$$
$$x_{13} = -168.051405007597$$
$$x_{14} = -39.1678061810769$$
$$x_{15} = 13.8489274699853$$
$$x_{16} = 20.2227299740537$$
$$x_{17} = 36.0172870463513$$
$$x_{18} = -89.4906951115164$$
$$x_{19} = 26.5529700363992$$
$$x_{20} = 86.3474755966677$$
$$x_{21} = 29.7105507660002$$
$$x_{22} = 3.69928083952331$$
$$x_{23} = -67.4849739703609$$
$$x_{24} = 10.6203828275874$$
$$x_{25} = -32.8650518133113$$
$$x_{26} = -26.5529700363992$$
$$x_{27} = 0.5599347473979$$
$$x_{28} = -13.8489274699853$$
$$x_{29} = 58.0505655345866$$
$$x_{30} = 61.1956985466846$$
$$x_{31} = 114.633238850285$$
$$x_{32} = -29.7105507660002$$
$$x_{33} = 17.0443794915286$$
$$x_{34} = -61.1956985466846$$
$$x_{35} = 95.7768136964885$$
$$x_{36} = -64.3404851927513$$
$$x_{37} = 23.3910501690508$$
$$x_{38} = -20.2227299740537$$
$$x_{39} = 64.3404851927513$$
$$x_{40} = 98.9197331449288$$
$$x_{41} = -10.6203828275874$$
$$x_{42} = 70.629204720493$$
$$x_{43} = 39.1678061810769$$
$$x_{44} = 76.9170188649185$$
$$x_{45} = 7.31236957667153$$
$$x_{46} = -70.629204720493$$
$$x_{47} = -42.316994092934$$
$$x_{48} = 48.612414402203$$
$$x_{49} = -92.6338041843149$$
$$x_{50} = -3.69928083952331$$
$$x_{51} = -23.3910501690508$$
$$x_{52} = 54.9050265131646$$
$$x_{53} = 463.376284124582$$
$$x_{54} = -98.9197331449288$$
$$x_{55} = 67.4849739703609$$
$$x_{56} = -95.7768136964885$$
$$x_{57} = 89.4906951115164$$
$$x_{58} = 51.7590072918019$$
$$x_{59} = -48.612414402203$$
$$x_{60} = 83.2041331118179$$
$$x_{61} = 42.316994092934$$
$$x_{62} = -80.0606531586329$$
$$x_{63} = 80.0606531586329$$
$$x_{64} = 73.7732104776975$$
$$x_{65} = -36.0172870463513$$
$$x_{66} = 92.6338041843149$$
$$x_{67} = -58.0505655345866$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[114.633238850285, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -168.051405007597\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
- Sí
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
es
par